内容发布更新时间 : 2024/4/27 23:50:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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蒋殿春《高级微观经济学》

第8章 一般均衡

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1．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有2单位x商品和2单位y商品；个体2开始只有2单位x商品；两人的效用函数分别是：

u1?x,y??x?lny，u2?x,y??lnx?lny

试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。

解：先将商品y的价格规范为1，设商品x的价格为p。二人的效用最大化问题分别为：

maxx1?lny1x1,y1 和

maxx2?lny2x2,y2

s..tpx1?y1?2p?2s..tpx2?y2?2p建立拉格朗日函数：

L1?x1?lny1??1?px1?y1?2p?2? L2?x2?lny2??2?px2?y2?2p?

一阶必要条件分别为：

??L1?x1?1??1p?0??L2?x2?1x2??2p?0??以及??L2?y2?1y2??2?0 ??L1?y1?1y1??1?0??L???px?y?2p?2?0??L???px?y?2p?0111222?1?2再加上市场出清条件x1?x2?4，y1?y2?2，瓦尔拉斯均衡价格和配置为：

?p,p???1,1?；?x,y???3,1?，?x,y???1,1?

xy1122

2．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有30单位x商品，个体2开始有20单位y商品；两人的效用函数分别是：

u1?x,y??min?x,y?，u2?x,y??min?x,y12?

试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。 解：个体1和2的效用函数表明x和y是互补品。将1和2的无差异曲线绘制成Edgeworth方框如图8-1所示。

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图8-1

瓦尔拉斯均衡要求预算线与无差异曲线在同一点上（相切），由图8-1可知，在任何一种非0的价格水平下，满足双方效用最大化的分配都不会导致市场出清（典型情况是x商品的社会超额需求小于零，y商品的社会超额需求小于零），因此也不可能达到瓦尔拉斯均衡。在这个纯交换经济当中，瓦尔拉斯均衡点只能是Edgeworth方框的两个对角点O1或O2，对

???0或p1?0，即全部的产品无偿归某一个消费者所有。 应的均衡价格分别为p2

3．在一个两种商品、两个消费者的经济中，假设社会的初始禀赋是?x,y?。消费者i的马歇尔需求是??xi?p?,yi?p???,i?1,2。如果两个消费者都是非局部餍足的。

（1）证明：对任何价格p??px,py??0，

????px??xi?p??x??py??yi?p??y??0 ?i??i?（2）如果在价格p??0下x商品市场出清，证明y商品市场也必然同时出清。 证明：（1）设两消费者的初始禀赋分别为?ix,?iy，i?1,2，则他们的预算约束为：pxxi?pyyi?px?ix?py?iy i?1,2

两式相加并整理得：

xpx?x1?x2??1x??2??py?y1?y2??1y??2y??0

由于?1x??2x?x，?1y??2y?y，代入可得：px??xi?p??x??py??yi?p??y??0。

?i???????i（2）由（1）的结果，当价格p??0下x商品市场出清，则有x1?x2?x，代入得：

??p?y??yi?p??y??0 ?i?由于p??0，所以y1?y2?y，因此y市场也必然同时出清。

4．考虑8.1.2节中定义的映射（8.7）：g：Z?SH?1：

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gh?z??qh?max?0,khzh?1??max??0.kjzj??j?1H（1）验证：?z?Z，都有?gh?z??1；

h?1H（2）验证gh?z?是z的连续函数。

qh?max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1H证明：（1）根据题意，?gh?q???h?1h?1HH??q??max?0,kz?hhhh?1h?1HH1??max??0,kjzj??j?1H

由于?qh?1，所以：

h?1HH?g?q??hh?11??max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1h?1HH?1

（2）因为limgh?z????lim??0??0qh?max?0,khzh???1??max??0,kjzj????j?1H?qh?max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1H所以gh?z??gh?z?，

是z的连续函数。

5．假设经济中每个个体的间接效用函数都有拟线性形式：

vi?p,m??fi?p??mi

p?是一个瓦尔拉斯均衡。证明：在p?附近总需求函数Xh?p?是ph的单减函数。

证明：由Roy等式，个体i对商品h的需求为：

xih?p????vi?p,mi??ph?vi?p,mi??mi???fi?p??ph

根据间接效用函数的拟凸性质，有：

?Xh?p??ph???ph?x?p????ihii?2fi?p?2?ph?0

因此，在p?附近总需求函数Xh?p?是ph的单减函数。

6．在什么情况下契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上？此时是否每个帕累托配置都对应一个瓦尔拉斯均衡（适当调整初始禀赋）？你的回答是否与福利经济学第二基本定理矛盾？

解：当对于所有禀赋约束下可能的配置结果x，消费者1的无差异曲线斜率都大于消费者2的无差异曲线斜率时，会出现角点解，即契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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此时通过适当调整初始禀赋，每个帕累托配置也都对应着一个瓦尔拉斯均衡。这一点与福利经济学第二基本定理相符。

7．证明：对于一个包含m个消费者、n个厂商、H种商品的经济，通过适当调整个体i?i?2,Km?的初始效用水平ui0，任何一个帕累托有效配置?xp,yp?都可以通过求解问题

（8.24）得到。

证明：任取一个帕累托有效配置?xp,yp?，指定ui0?ui?xip??i?2,Km?；记（8.24）的解?x?,y??，下面需要证明x??xp，y??yp。

为证明x??xp，只需证明x1??xp。因为如果不是这样，那么在x1p基础上更改其消费可改善个体1的福利，同时未损害其他个体的利益，这与帕累托有效矛盾。

对任何厂商j，任两种商品h和h?，yp都必须满足（8.24）的一阶必要条件，

?ui?xih?Fj?yjh?

?ui?xih??Fj?yjh?这样，在x??xp的前提下，就意味着y??yp。

8．假设经济中各个体的效用函数是ui?xi??i?1,?n?，定义社会福利函数

W?x,k???kiui?xi?

i?1n其中x??x1,?xn?，k??k1,?kn??0是每个分量都大于零的常向量。给定经济中的初始禀赋不变，证明：

（1）?k?0使得社会福利W?x,k?达到最大，则它必然是一个帕累托有效配置； （2）如果x??0是一个帕累托有效配置，且每一个ui是连续、单增的凹函数，则必然存在k?，使得函数W?x,k??的最大值解就是x?；（提示：使用福利经济学第二基本定理）

?（3）上一小问中的k???k1?,?kn?有什么经济学解释？

?，以及某个消费者证明：（1）如果x?不是帕累托有效配置，则存在另一个不同的配置x?i??ui?xi??，且uj?x?j??uj?x?i，使得ui?xj?。

?,k???kiui?x?i???kiui?xi???W?x?,k?与之相矛盾，所以它必然是一个帕累托从而W?xi?1i?1nn有效配置。

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（2）因为x是帕累托有效配置，适当调整经济中的初始禀赋，可使x?成为一个瓦尔拉斯均衡（福利经济学第二基本定理），令均衡价格为p?，则有以下均衡条件（效用最大化问题的一阶条件）成立：

?ui?xi???xih? ?i,h ??i?ph再考虑福利函数W?x,k?最大化问题：

max?kiui?xi?

is..t?xih??ih ?h?1,Kk?

i一阶必要条件是：存在uh?h?1,Kk?，使得：

ki?ui?xi??xih?uh ?i,h

而且在效用函数为连续凹函数的条件下，这也是充分条件。 令ki??1?i??i?1,Kn?，则x?满足上述最大化条件。

（3）由于ki??1?i?，而?i?是的拉格朗日系数，根据约束条件，可知?i?为消费者i对其初始货币化禀赋mi?p?i的边际效用，1ki???i???vi?p,m??mi。

9．在一个包含两种商品、两个消费者的经济中，依照下面步骤，利用价格提供线来简单地构造瓦尔拉斯均衡（回忆第4章图4-7定义的价格提供曲线）：

（1）证明，在Edgeworth方框中，两个个体的价格提供线都经过初始禀赋点，并且都处于两人过初始点处无差异曲线围成的透镜区域内；

（2）证明：初始点与个体i价格提供线上任一点的连线，必然与个体i过这一点的无差异曲线相切；

（3）证明：如果两人的价格提供线在Edgeworth方框内相交（除了初始点），这一交点必然是瓦尔拉斯均衡；

（4）结合（1）～（3），解释瓦尔拉斯均衡配置必然处于核中。 证明：（1）由个体i效用最大化一阶条件，可得：

ui?1?xi??xi1??i1??ui?2?xi??xi2??i2??0

这就是个体i需求的价格提供线方程。显然xi???i1,?i2?满足这一方程，故禀赋点在价格提供曲线上。另一方面，对任意价格p，消费者在交换后达到的无差异曲线不可能低于初始所在的无差异曲线，故此时的消费束位于两条过初始禀赋点的无差异曲线所围成的透镜区域中。

（2）由（1）中的价格提供曲线方程，初始点??i1,?i2?与价格提供曲线上任一点?xi1,xi2?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解