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2018届湖南省衡阳市高三第二次联考（二模）

理科数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数

的实部与虚部之和为1，则实数 的值为( )

A．2 B．1 C．4 D．3 2.下列说法错误的是( )

A．“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ” B．“ ”是“ ”的充分不必呀条件

C．“ ”的否定是“ ”

D．命题：“在锐角 中， ”为真命题

3.“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为( )

A． B． C． D．

4.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A． B． C. D．

5.已知双曲线的两个焦点为 ， 、 ， ， 是此双曲线上的一点，且满足

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，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( ) A．3 B． C. D．1

6.已知函数

，把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2倍（纵坐标不

变），再把所得到的曲线向左平移 各单位长度，得到函数 的图象，则函数 的对称中心是( ) A． B． C. D．

7. 泰九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例。若输人 ， 的值分別为4,5,则输出 的值为( )

A．211 B．100 C.1048 D．1055

，点 是 的重心，则 的最小值是( ) 8.在 中， °， A． B． C. D．

9.已知函数

的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )

A． B． C. D． 10.在 中，已知 为 的面积)，若 ,则 A． B． C. D．

11.当 为正整数时，定义函数 表示 的最大奇因数.如 ，则 ( )

A．342 B．345 C.341 D．346

12.已知 为自然对数的底数，设函数 存在极大值点 ，且对于 的任意可能取值，

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的取值范围是( )

恒有极大值 ,则下列结论中正确的是( )

A．存在 ,使得 B．存在 ，使得

C. 的最大值为 D． 的最大值为

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 ．

14.设 ，在约束条件 下，目标函数 的最小值为-5，则 的值为 ．

15.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且直线 与圆 交于 两点，若 ,则直线 的斜率为 ．

16.在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，若 ，则四棱锥 的体积取值范围为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 等差数列 中， , 为等比数列 的前 项和，且 ,若 成等差数列. (1)求数列 ， 的通项公式；

(2)设 ,求数列 的前 项和 .

18. 如图， 平面 平面 , 是等边三角形， 是 的中点. (1)证明： ；

(2)若直线 与平面 所成角的余弦值为，求二面角 的正弦值.

19.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得出这批钢

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