内容发布更新时间 : 2024/12/24 20:17:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点

多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。

一、重点

多元函数偏导数的概念，全微分的概念及公式，复合函数求导法则，隐函数求导法则，偏导数的几何应用，多元函数极值。

二、难点

复合函数求导，多元函数极值 三、主要内容 1. 偏导数 对二元函数

，

，

由定义求求导.

时，暂时将看作常数，对求导，求时，暂时将看作常数，对

同理，可得三元函数的偏导数

2. 高阶偏导数

对二元函数，有，，，

同理，可得三元函数的高阶偏导数

3. 全微分

对二元函数，

对三元函数

4. 复合函数求导法则

，

则

思考：如何求复合函数的二阶偏导数

5. 隐函数的求导法则

由方程确定，则

6. 微分法在几何上的应用 (1 空间曲线

在点

处的切线方程：

（其中

法平面方程：

(2 曲面

在点

点对应参数）

处的切平面方程：

法线方程

7. 方向导数与梯度 二元函数

在点

处沿射线方向的方向导数：

（其中

梯度

梯度向量的方向为点

为轴正向到射线的转角）

处方向导数取得最大值的方向，且

类似，可得三元函数的方向导数与梯度。

8. 二元函数的极值 求函数

极值的一般步骤：

（1）令（2）求出（3）利用判别式三、基本要求

，解得函数

的驻点

的符号判断驻点是否为极值点。

1. 深刻理解二元函数偏导数的概念，能熟练求出一阶和高阶偏导数； 2. 掌握全微分概念，会求二、三元函数的全微分； 3. 会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法； 4. 会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线； 5. 会求二元函数极值.