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四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）
总体要求
考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。
考试用时：120分钟
考试范围及要求
一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学
（一）不定积分
（成都理工大学13：理文科—1个选3分；） （成都理工大学14：理文科—1个选3分；）
（攀枝花学院13：理科——选择3分、解答两个12分；文科——选择3分、解答一个5分；）
1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。
（1） F(x)是f(x)的一个原函数 ?F?(x)?f(x)
F(x)是f(x)的一个原函数 ?（2） 不定积分的基本性质
①
?f(x)dx?F(x)?C
df(x)dx?f(x) ， ② d?f(x)dx?f(x)dx， dx?③ F?(x)dx?F(x)?C ， ④ d[F(x)]?F(x)?C．
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例1 （攀枝花学院：理科——选择3分）设secx是f?x?的一个原函数，则 ?f?x?dx?.
2?A、tanx?C B、xtanx?tanx?C C、sec2x?C D、sec2x?tanx?C
例2 （攀枝花学院：文科——选择3分）1、若f?(x)为连续函数，则
?f?(2x)dx等于.
（A）
1f(2x)?C （B） f(x)?C （C）f(2x)?C （D） 2f(2x)?C 22. 熟练掌握基本的不定积分公式。 不定积分的基本公式是最基础的，是做一切积分题的前提，必须要能默写（13个+2个）
3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法（限于三角代换与简单的根式代换）
（1）第一类换元法：
?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx
??f[?(x)]d[?(x)] （① 凑微分）
??f(u)du （② 换元， 可以省略，写到草稿纸上）
?F(u)?C （③ 用积分公式，可以省略，写到草稿纸上）
。 ?F[?(x)]?C （④ 回代还原）
（2）第二类换元法：
主要解决：带有根式的函数的积分：nax?b，二次式
令x??(t)，则dx???(t)dt
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt??g(t)dt?G(t)?C?G[??1(x)]?C
基本的三角代换：
①含有a2?x2时，令x?asint，从而a2?x2?acost，dx?acostdt． ②含有x2?a2时，令x?atant，从而x2?a2?asect，dx?asectdt．
2③含有x2?a2时，令x?asect，从而x2?a2?atant，dx?asect?tantdt．
4. 掌握不定积分的分部积分法。
主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。
?f(x)dx??u(x)d[v(x)]
?u(x)?v(x)??v(x)d[u(x)]
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?u(x)?v(x)??v(x)?u?(x)dx
5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。 先将被积函数化为：整式+真分式。
再化部分分式：将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。
例1（成都理工大学13：理科、文科——选择题1个3分）已知?f(x)dx?F(x)?C，则
?f(3?2x)dx?【 】
(A)F(3?2x)?C (B)?1F(3?2x)?C (C)1F(3?2x)?C (D)2F(3?2x)?C
22例2（成都理工大学14：理科、文科——选择题1个3分）．若?f(x)dx?x?1?C，则x?2?f(cosx)sinxdx=【 】
（A）
cosx?1cosx?1x?1sinx?1?C （B）??C （C）?C （D）?C
cosx?2cosx?2x?2sinx?2
例3 (1)（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分）求下列积分 ①
?20xe?xdx； ②?2dx；（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分） 5x(1?x)③ ?x?1dx（攀枝花学院13：文科——解答题1个5分） x(1)（攀枝花学院14：理科——解答题1个6分）计算?xtan2xdx
例4 求下列积分
x3x4?2x2?2x2?3x?5dx ； ② ?3dx ； ③?2dx； ① ?2x?1x?x?2x?2x2?x?2④
13x?4dx ； ⑤?(x2?1)(x2?x)?2x2?x?5dx
（二）定积分
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