内容发布更新时间 : 2024/4/28 7:43:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第6讲 空间向量及其运算
最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知 识 梳 理
1.空间向量的有关概念 名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa. 推论 如图所示，点P在l上的充要条件是→OP＝→OA＋ta① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取→AB＝a，则①可化→或→→. 为→OP＝→OA＋tABOP＝(1－t)→OA＋tOB(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，→＋yMB→或对空间任意一点O，有→→＋yMB→或→推论的表达式为→MP＝xMAOP＝→OM＋xMAOP→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝1. ＝xOM(3)空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在
1
唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作→OA＝a，→OB＝b，则∠AOB叫做π向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称2
a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模 向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0 (a≠0，b≠0) |a| a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝ 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 222222a1＋a2＋a3·b1＋b2＋b3诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
2
(1)空间中任意两非零向量a，b共面( )
(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b( )
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量( ) (4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角( )
解析 对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，
b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 C.异面
B.平行
D.相交但不垂直
解析 由题意得，→AB＝(－3，－3，3)，→CD＝(1，1，－1)， ∴→AB＝－3→CD，∴→AB与→CD共线，又AB与CD没有公共点. ∴AB∥CD. 答案 B
3.(选修2－1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCD－
A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若→AB＝a，→AD＝b，→AA1＝c，则下列向量中与→BM相等的向量是( ) 11
A.－a＋b＋c
2211
C.－a－b＋c
22
11
B.a＋b＋c 2211
D.a－b＋c 22
1→→→→→→
解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
2111
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222答案 A
4.已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________. 解析 a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，∴|b|＝（－4）2＋22＋22
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