内容发布更新时间 : 2024/9/20 7:22:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.1.1 函数及其性质

1.函数的概念

引例 汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系？

设行驶路程为s千米，行驶时间为t小时，依题意可得s?60t?0?t????.变量s

和t的这种对应关系，即是函数概念的实质.

定义1.1 设x和y是两个变量，D是一个非空实数集，如果对于数集D中的

每一个数x按照一定的对应法则f都有唯一确定的实数y与之对应，则称f是定义

在数集D上的函数，记作y?f(x)，其中D称为函数的定义域，x称为自变量，y

称为因变量．

如果对于确定的x0?D，通过对应法则f，有唯一确定的实数y0与之对应，则

称y0为y?f(x)在x0处的函数值，记作y0?f(x0).集合Y?yy?f(x),x?D

称为函数的值域.

2.函数的表示法

（1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y?kx?b

（k,b为常数，且k?0）.

（2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表.

（3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像.

3.函数的两个要素

函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式

给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的

自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数

的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于

零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为??1,1?等，如

果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集.

两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数.例如函数

y?x2与y?x是相同的函数；而函数f?x??lgx2与f?x??2lgx因定义域不

同而不是相同函数.

1.1 函 数

?? 1

例1.1.1 求函数f?x??lg?1?x??x?4的定义域.

解 当且仅当1?x?0且x?4?0时，f?x?才有意义，即?4?x?1，所以函数的定义域为??4,1?.

例1.1.2 已知f?x??x3?1，求f?a?1?及f?解 f?a?1???a?1??1?a?3a?3a

323?1??. ?x?1?1??1?f??????1?3?1

x?x??x?例1.1.3 已知f?x?1??x2?x?1，求f?x?. 解 令x?1?t，则t?x?1，

从而 f?t???t?1???t?1??1?t?3t?3

223所以 f?x??x?3x?3

24.几种常见函数简介

（1）分段函数

有些函数在定义域不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数

?1,x?0,?例1.1.4 设f?x???0,x?0, 求f?3?,f?0?,f??5?.

??1x?0.?解 f?3??1,f?0??0,f??5???1. （2）隐函数

通常将形如y?f?x?的函数称为显函数；由二元方程F?x,y??0确定的函数称为隐函数.有些隐函数可以通过一定的运算，把它转化为显函数，例如x?y?4可以化为显函数y??4?x2；但有些隐函数却不能化为显函数，例如

22ex?xy?ey?0.

（3）参数方程确定的函数

2

??x???t?由参数方程??t?I?R?来表示x和y之间的函数关系，称为由参数方 ??y???t?

?x?cost程确定的函数.例如，由参数方程??0?t???，可以确定函数

?y?sint

（4）反函数

设y?f?x?为定义在数集D上的函数，其值域为M．若对于数集M中的每一

个数y，数集D中都有唯一的数x，使得f?x??y，则称由此确定的函数为y?f?x? ?1的反函数，记为y?f?x?，其定义域为M，值域为D．

注意：只有严格单调的函数才有反函数.

1x3例1.1.5 求函数y?e?的反函数，并确定反函数的定义域.

22

1x3x解 由y?e?得e?2y?3，即x?ln?2y?3?.将上式中的x,y互换，因

22

1x3?3?此得到函数y?e?的反函数为y?ln?2x?3?，反函数的定义域为??,???.

22?2? 5.函数的几种特性

（1）奇偶性

设函数y?f?x?的定义域D关于原点对称，对任意x?D，①若f??x??f?x?，

则称y?f?x?为偶函数；②若f??x???f?x?，则称y?f?x?为奇函数；③不是偶

函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.由定义可知奇函数的图像关于原点对

称，偶函数的图像关于y轴对称.

例 1.1.6 判断下列函数的奇偶性：

32①f?x??x?x?sinx?；② f?x??lnx?x?1；③y?x?2.

解 ①f??x????x??x?sin??x???x??x?sinx?

?x?x?sinx??f?x?，所以f?x??x?x?sinx?是偶函数.

y?1?x2,x???1,1?.

???? 3