内容发布更新时间 : 2024/12/23 5:20:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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y(t)中消去t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则 ,最后用 积分求ｓ．

解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为, 这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．

(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为 ,

图(a)中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置． (3) 由位移表达式,得 其中位移大小 而径向增量

*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则 ,由轨道方程可得 ,代入ds,则2ｓ内路程为

1-9 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合

成算出速度和加速度的大小和方向． 解 (1) 速度的分量式为 ,

当t ＝0 时, vox ＝-10 m?6?1ｓ-1 , voy ＝15 m?6?1ｓ-1 ,则初速度大小为

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设vo与x 轴的夹角为α,则 α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为 ,

则加速度的大小为

设a 与x 轴的夹角为β,则 ,β＝-33°41′(或326°19′)

1-10 分析

在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地

面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1(t)和y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程． 解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即

(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为

解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋a,螺丝落至底面时,有

(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为 则

1-11 分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一

切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t)和y′＝y′(t)来表示圆周运动是比较方便

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的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．

解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因 ,则质点P 的参数方程为 ,

坐标变换后,在Oxy 坐标系中有 ,

则质点P 的位矢方程为

(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为

1-12 分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即

影子端点的位矢方程．根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得．由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度．这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得．

解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s＝htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为

当杆长等于影长时,即s ＝h,则

即为下午3∶00 时．

1-13 分析

本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定

条件下用积分方法解决．由 和 可得 和 ．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分． 解 由分析知,应有

得 (1) 由 得 (2)

将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m?6?1ｓ-1代入(1) (2)得v0＝-1 m?6?1ｓ-1,x0＝0.75 m．于是可得质点运动方程为

1-14 分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函

数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为 后再两边积分． 解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点． (1) 由题意知 (1)

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用分离变量法把式(1)改写为 (2)

将式(2)两边积分并考虑初始条件,有 得石子速度

由此可知当,t→∞时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由 并考虑初始条件有 得石子运动方程

1-15 分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据

加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即 和 ,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．

解 由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得

又由 及初始条件t＝0 时,r0＝(10 m)i,积分可得

由上述结果可得质点运动方程的分量式,即 x ＝10＋3t2 y ＝2t2

消去参数t,可得运动的轨迹方程 3y ＝2x -20 m

这是一个直线方程．直线斜率 ,α＝33°41′．轨迹如图所示．

1-16 分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为 和 ．在匀速率

圆周运动中,它们的大小分别为 , ,式中｜Δv｜可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出．

由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值．

解 (1) 由图(b)可看到Δv ＝v2 -v1 ,故 而 所以

(2) 将Δθ＝90°,30°,10°,1°分别代入上式,得, , ,

以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度 ．

1-17 分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,

即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即 ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即瞬时速度 ．切向和法向加速度是指在自然

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