内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:00:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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的水平分量FN2 提供,而竖直分量FN1 则与重力相平衡．如图(c)所示,其中φ角为摩托车与筒壁所夹角．运用牛顿定律即可求得筒壁支持力的大小和方向力．

解 设杂技演员连同摩托车整体为研究对象,据(b)(c)两图应有 (1) (2) (3) (4)

以式(3)代入式(2),得 (5)

将式(1)和式(5)代入式(4),可求出圆筒壁对杂技演员的作用力(即支承力)大小为

与壁的夹角φ为

讨论 表演飞车走壁时,演员必须控制好运动速度,行车路线以及摩托车的方位,以确保三者之间满足解题用到的各个力学规律．

2-13 分析 首先应由题图求得两个时间段的F(t)函数,进而求得相应的加速度函数,

运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应．

解 由题图得

由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为

对0 ＜t ＜5ｓ 时间段,由 得 积分后得 再由 得 积分后得

将t ＝5ｓ 代入,得v5＝30 m?6?1ｓ-1 和x5 ＝68.7 m 对5ｓ＜t ＜7ｓ 时间段,用同样方法有 得

再由 得 x ＝17.5t2 -0.83t3 -82.5t ＋147.87

将t ＝7ｓ代入分别得v7＝40 m?6?1ｓ-1 和 x7 ＝142 m

2-14 分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝

dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置． 解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有

依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m?6?1ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得

v＝6.0+4.0t+6.0t2

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又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有

x ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3

2-15 分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受

制动力F 为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．

解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件, 得 因此,飞机着陆10ｓ后的速率为 v ＝30 m?6?1ｓ-1 又

故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离

2-16 分析 该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P、浮

力F 和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．

解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为

运动员入水后,由牛顿定律得 P -Fｆ -F ＝ma

由题意P ＝F、Fｆ＝bv2 ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代 入上式后得 -bv2＝ mv (d v /dy)

考虑到初始条件y0 ＝0 时, ,对上式积分,有

(2) 将已知条件b/m ＝0.4 m -1 ,v ＝0.1v0 代入上式,则得

2-17 分析 螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；

由于叶片的质量是连续分布的,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解．

解 设叶片根部为原点O,沿叶片背离原点O 的方向为正向,距原点O 为r处的长为dr一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为FＴ(r)与FＴ(r＋dr)．叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有

由于r ＝l 时外侧FＴ ＝0,所以有

上式中取r ＝0,即得叶片根部的张力FＴ0 ＝-2.79 ×105 N

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负号表示张力方向与坐标方向相反．

2-18 分析 该题可由牛顿第二定律求解．在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速

度就是切向加速度aｔ,与其相对应的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcosα．由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man ．由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量． 倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便．但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力．

解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力FN ．取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得 (1) (2)

由 ,得 ,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始末条件,进行积分,有 得

则小球在点C 的角速度为 由式(2)得

由此可得小球对圆轨道的作用力为 负号表示F′N 与en 反向．

2-19 分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学

问题．物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力FN 和环与物体之间的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小与正压力FN′成正比,且FN与FN′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程．

解 (1) 设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有

由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得

取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有

(2) 当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为

物体在这段时间内所经过的路程

2-20 分析 物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的

一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可．但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零．

解 (1) 物体在空中受重力mg和空气阻力Fr ＝kv 作用而减速．由牛顿定律得 (1)

根据始末条件对上式积分,有

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(2) 利用 的关系代入式(1),可得

分离变量后积分 故

讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动．由公式 和 分别算得t≈6.12ｓ和y≈184 m,均比实际值略大一些．

2-21 分析 由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反,因此,物体在上抛过

程中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落过程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向则相反．又因阻力是变力,在解动力学方程时,需用积分的方法．

解 分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y 轴(如图所示)．(1) 物体在上抛过程中,根据牛顿定律有

依据初始条件对上式积分,有

物体到达最高处时, v ＝0,故有

(2) 物体下落过程中,有 对上式积分,有 则

2-22 分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方

法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr ＝kv2 ,且Fr又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．

解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有 (1)

当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得 k＝F/vm2 (2)

由式(1)和式(2)可得 (3)

根据始末条件对式(3)积分,有 则

又因式(3)中 ,再利用始末条件对式(3)积分,有 则

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