内容发布更新时间 : 2024/5/5 18:31:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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3-21 分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功．小球摆动过程中同时受到重

力和张力作用．重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得；至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式 ,即能得出结果来．(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率．(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定．解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即

在小球摆动过程中,张力FＴ 的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功

(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果．初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为 小球在最低位置的速率为

(3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得

3-22 分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少；而减少的这部分动能

则消耗在运动中克服摩擦力作功上．由此,可依据动能定理列式解之． 解 (1) 摩擦力作功为 (1)

(2) 由于摩擦力是一恒力,且Fｆ ＝μmg,故有 (2)

由式(1)、(2)可得动摩擦因数为

(3) 由于一周中损失的动能为 ,则在静止前可运行的圈数为 圈

3-23 分析 运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一．因为它与过程的细

节无关,也常常与特定力的细节无关．“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变．在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统),注意守恒定律成立的条件．该题可用机械能守恒定律来解决．选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B 板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件．只需取状态1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出．

解 选取如图(b)所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点．作各状态下物体的受力图．对A 板而言,当施以外力F 时,根据受力平衡有 F1 ＝P1 ＋F (1)

当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得

式中y1 、y2 为M、N 两点对原点O 的位移．因为F1 ＝ky1 ,F2 ＝ky2 及P1 ＝m1g,上式

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可写为

F1 -F2 ＝2P1 (2) 由式(1)、(2)可得 F ＝P1 ＋F2 (3)

当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F′2 ＝P2 ,且F2 ＝F′2 ．由式(3)可得 F ＝P1 ＋P2 ＝(m1 ＋m2 )g

应注意,势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点．

3-24 分析 矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力和支持力作用．若取

矿车、地球和弹簧为系统,支持力不作功,重力、弹力为保守力,而阻力为非保守力．矿车在下滑和上行两过程中,存在非保守力作功,系统不满足机械能守恒的条件,因此,可应用功能原理去求解．在确定重力势能、弹性势能时,应注意势能零点的选取,常常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点,这样做对解题比较方便． 解 取沿斜面向上为x 轴正方向．弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O．矿车在下滑和上行的全过程中,按题意,摩擦力所作的功为 Wｆ ＝(0.25mg ＋0.25m′g)(l ＋x) (1)

式中m′和m 分别为矿车满载和空载时的质量,x 为弹簧最大被压缩量．

根据功能原理,在矿车运动的全过程中,摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值,故有 Wｆ ＝-ΔE ＝-(ΔEP＋ΔEｋ )

由于矿车返回原位时速度为零,故ΔEｋ＝0；而ΔEP＝(m -m′) g(l ＋x) sinα, 故有

Wｆ ＝-(m -m′) g(l ＋x) sinα (2) 由式(1)、(2)可解得

3-25 分析 由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动

能也相同．钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等．由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解．

解 因阻力与深度成正比,则有F＝kx(k 为阻力系数)．现令x0＝1.00 ×10 -2 m,第二次钉入的深度为Δx,由于钉子两次所作功相等,可得 Δx＝0.41 ×10 -2 m

3-26 分析 根据势能和动能的定义,只需知道卫星的所在位置和绕地球运动的速率,

其势能和动能即可算出．由于卫星在地球引力作用下作圆周运动,由此可算得卫星绕地球运动的速率和动能．由于卫星的引力势能是属于系统(卫星和地球)的,要确定特定位置的势能时,必须规定势能的零点,通常取卫星与地球相距无限远时的势能为零．这样,卫星在特定位置的势能也就能确定了．至于卫星的机械能则是动能和势能的总和．

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解 (1) 卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力,由牛顿定律可得 则

(2) 取卫星与地球相距无限远(r→∞)时的势能为零,则处在轨道上的卫星所具有的势能为

(3) 卫星的机械能为

3-27 分析 取冰块、屋面和地球为系统,由于屋面对冰块的支持力FN 始终与冰块运动

的方向垂直,故支持力不作功；而重力P又是保守内力,所以,系统的机械能守恒．但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量；因此,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程．求解上述两方程即可得出结果．

解 由系统的机械能守恒,有 (1)

根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为 (2)

冰块脱离球面时,支持力FN ＝0,由式(1)、(2)可得冰块的角位置

冰块此时的速率为

v 的方向与重力P 方向的夹角为 α＝90°-θ ＝41.8°

3-28 分析 若取小球、弹簧和地球为系统,小球在被释放后的运动过程中,只有重力和

弹力这两个保守内力作功,轨道对球的支持力不作功,因此,在运动的过程中,系统的机械能守恒．运用守恒定律解题时,关键在于选好系统的初态和终态．为获取本题所求的结果,初态选在压缩弹簧刚被释放时刻,这样,可使弹簧的劲度系数与初态相联系；而终态则取在小球刚好能通过半圆弧时的最高点C 处,因为这时小球的速率正处于一种临界状态,若大于、等于此速率时,小球定能沿轨道继续向前运动；小于此速率时,小球将脱离轨道抛出．该速率则可根据重力提供圆弧运动中所需的向心力,由牛顿定律求出．这样,再由系统的机械能守恒定律即可解出该弹簧劲度系数的最小值．

解 小球要刚好通过最高点C 时,轨道对小球支持力FN ＝0,因此,有 (1)

取小球开始时所在位置A 为重力势能的零点,由系统的机械能守恒定律,有 (2) 由式(1)、(2) 可得

3-29 分析 这也是一种碰撞问题．碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压

缩到最大,小球与靶刚好到达共同速度为止,在这过程中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因此,在此方向动量守恒．但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来．又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒．应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有相同速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解．应用守恒定律求解,可免除碰撞中的许多细节问题．

解 设弹簧的最大压缩量为x0 ．小球与靶共同运动的速度为v1 ．由动量守恒定律,有

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(1)

又由机械能守恒定律,有 (2)

由式(1)、(2)可得

3-30 分析 该题可分两个过程分析．首先是弹丸穿越摆锤的过程．就弹丸与摆锤所组

成的系统而言,由于穿越过程的时间很短,重力和的张力在水平方向的冲量远小于冲击力的冲量,因此,可认为系统在水平方向不受外力的冲量作用,系统在该方向上满足动量守恒．摆锤在碰撞中获得了一定的速度,因而具有一定的动能,为使摆锤能在垂直平面内作圆周运动,必须使摆锤在最高点处有确定的速率,该速率可由其本身的重力提供圆周运动所需的向心力来确定；与此同时,摆锤在作圆周运动过程中,摆锤与地球组成的系统满足机械能守恒定律,根据两守恒定律即可解出结果． 解 由水平方向的动量守恒定律,有 (1)

为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动,在最高点时,摆线中的张力FＴ＝0,则 (2)

式中v′h 为摆锤在圆周最高点的运动速率．

又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中,满足机械能守恒定律,故有 (3)

解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为

3-31 分析 对于粒子的对心弹性碰撞问题,同样可利用系统(电子和氢原子)在碰撞过

程中所遵循的动量守恒和机械能守恒来解决．本题所求电子传递给氢原子的能量的百分数,即氢原子动能与电子动能之比 ．根据动能的定义,有 ,而氢原子与电子的质量比m′/m 是已知的,它们的速率比可应用上述两守恒定律求得, 即可求出． 解 以EH 表示氢原子被碰撞后的动能, Ee 表示电子的初动能,则 (1)

由于粒子作对心弹性碰撞,在碰撞过程中系统同时满足动量守恒和机械能守恒定律,故有 (2) (3)

由题意知m′/m＝1 840,解上述三式可得

3-32 分析 这是粒子系统的二维弹性碰撞问题．这类问题通常采用守恒定律来解

决．因为粒子系统在碰撞的平面内不受外力作用,同时,碰撞又是完全弹性的,故系统同时满足动量守恒和机械能守恒．由两守恒定律方程即可解得结果．

解 取如图所示的坐标,由于粒子系统属于斜碰,在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式,有 (1) (2)

又由机械能守恒定律,有

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