内容发布更新时间 : 2024/12/23 0:16:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
sin2θ=2sinθcosθ． 则
=
=2sin2θ+2cos2θ=2． 故答案为2．
三．解答题（共6小题）
=
17．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，nan+1=（n+2）Sn+n（n+1），n∈N*． （1）证明：数列（2）求Tn=S1+S2+…+Sn．
【解答】解：（1）证明：a1=1，nan+1=（n+2）Sn+n（n+1），n∈N*， 因为an+1=Sn+1﹣Sn，
所以n（Sn+1﹣Sn）=（n+2）Sn+n（n+1）， 即nSn+1=2（n+1）Sn+n（n+1）， 则所以又
=2?
+1，
+1），
为等比数列；
+1=2?（+1=2，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列；
+1=2n，
（2）由（1）知所以Sn=n?2n﹣n，
故Tn=S1+S2+…+Sn=（1?2+2?22+…+n?2n）﹣（1+2+…+n）． 设M=1?2+2?22+…+n?2n， 则2M=1?22+2?23+…+n?2n+1， 所以﹣M=2+22+…+2n﹣n?2n+1 =
﹣n?2n+1，
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所以M=（n﹣1）?2n+1+2，
所以Tn=（n﹣1）?2n+1+2﹣n（n+1）．
18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，∠ABC=120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，
，平面BDEF⊥底面ABCD．
（1）证明：平面AEF⊥平面AFC； （2）求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD， ∴AC⊥平面BDEF，从而AC⊥EF． 又BD⊥DE，∴DE⊥平面ABCD， 由AB=2a，DE=2BF=2∴AF=EF=
==
，∠ABC=120°， ，BD=2a， a，AE=
=2
a，
从而AF2+FE2=AE2，∴EF⊥AF． 又AF∩AC=A，∴EF⊥平面AFC．
又EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面AFC． 解：（Ⅱ）取EF中点G，由题可知OG∥DE， ∴OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB， ∴分别以
，
，
的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，
，0，0），C（﹣
，0，0），E（0，﹣a，2
），F
则O（0，0，0），A（
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（0，a，∴
=（﹣
），
），
=（﹣2
，0，0），
=（0，2a，﹣=（0，2a，﹣
a）．
）．
由（1）可知EF⊥平面AFC，∴平面AFC的法向量可取为设平面AEC的法向量为=（x，y，z）， 则
，即
，令z=
，得=（0，4，）．
∴cos＜＞===．
．
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为
19．已知椭圆
的公共弦长为
（1）求椭圆C的方程；
的长轴长为6，且椭圆C与圆．
（2）过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a=6，所以a=3， 由椭圆C与圆
可得椭圆C经过点（2，±解得b=2
的公共弦长为），所以+
，恰为圆M的直径， =1，
，
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所以椭圆C的方程为+=1；
（Ⅱ）直线l的解析式设为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）， AB的中点为E（x0，y0）．
假设存在点D（m，0），使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形， 则DE⊥AB．
联立y=kx+2和8x2+9y2=72，得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0， 故x1+x2=﹣所以x0=﹣
，
，y0=kx0+2=
，
因为DE⊥AB，所以kDE=﹣， 即所以m=
=
=﹣，
，
当k＞0时，9k+≥2所以﹣
≤m＜0．
=12，
综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点E， 且点D的横坐标的取值范围为﹣20．如图，已知椭圆
≤m＜0．
的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦
点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3． （1）求椭圆C的标准方程：
（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足
，问直线MN
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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【解答】解：（1）由题意可知F（﹣1，0），所以c=1， 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=∴椭圆C的标准方程：（2）由（1）知A（﹣1，）， 设由
，得，|
|cosα=|
．
|cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因为FA⊥x轴， ．
，∴
，∴a2=4，b2=3
∴直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数． 可设直线
AM：：y=k（x+1）+
，
设M（xM，yM），N（xN，yN），因为A（﹣1，）在椭圆上，
，
，
．
，代入
得
∵直线AM、AN的斜率互为相反数，∴用﹣k换k得：
．
∴直线MN的斜率kMN=
∴直线MN的斜率是否为定值﹣ 21．已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+（1）讨论f（x）的单调性；
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．
﹣ax（a∈R）