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第三章习题解答

.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平

面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

q 赤道平面 a 则球赤道平面上电通密度的通量

?q 题3.1 图

3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通

Ze?1r?过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0?er???，试证明之。

4??r2ra3?Ze 解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?er4?r2Ze3Ze?? 原子内电子云的电荷体密度为 ???4?ra334?ra3b 电子云在原子内产生的电通量密度则为

c ?0 a ?4?r33ZerD2?er??e r4?r24?ra3题3. 3图(a)

故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?erZe?1r??2?3? 4??rra?3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱面半径分别为a和

b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。

由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

r?b区域中，由高斯定律?EdS?Sq?0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的

b b c ?0 a ＝ ?0 c a ＋

b ?? 0a c 题3. 3图(b)

?b2?0?0b2 r??a2?0?0a2r???er???? E1 电场分别为 E1?er2??0r2?0r22??0r?2?0r?2?b2ra2r???(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E12?0rr?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

??a2??a2r???er??? E2

2??0r?2?0r?2?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

??r?2?0?0r????? E3?er

2??0r?2?0??点P处总的电场为 E?E3?E3?0?(r?r?)?0c 2?02?0.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。

：由?D??，有 ?(r)??D?故在r?a区域 ?(r)??01d2(rDr) r2dr1d2322[r(r?Ar)]??(5r?4Ar) 02rdr541d2(a?Aa)在r?a区域 ?(r)??02[r]?0 2rdrr.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。

计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

41d2r4r3?0[2(r4)]?6?04 rdraar3222）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 ??a2Q?2?0 4?a2 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和

?2应具有什么关系？

（1）由高斯定理

?DS0dS?q，当r?a时，有 D?0

01a?1 ra?1?b?2 r当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?er当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er （2）令 D03?er?ba?1?b?2?0，则得到 1??

?2ar.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点P1(2,1,?1)