内容发布更新时间 : 2025/5/21 19:26:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

听课正文 第64讲 n次独立重复试验与二项分布

1.条件概率

条件概率的定义 设A,B为两个事件,且P(A)>0,称 条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率 C|A)=

2.事件的相互独立性

(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)= ,则称事件A与事件B相互独立. (2)性质:

①若事件A与B相互独立,则P(B|A)= ,P(A|B)=P(A),P(AB)= . ②如果事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与 也都相互独立.

3.独立重复试验与二项分布

独立重复试验 二项分布 在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作 ,并称p为 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概 k率P(X=k)= p(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) 在相同条件下重复做的n定 次试验称为n次独立重复义 试验 计Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试算验的结果,则P(A1A2…公An)=P(A1)·P(A2)…P(An) 式

题组一 常识题

1.[教材改编] 某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 ,刮风的概率是 ,既刮风又下雨的概率为 ,设事件A表示“该地区下雨”,事件B表示“该地区刮风”,那么P(B|A)等于 . 2.[教材改编] 甲、乙两人各射击1次,击中目标的概率分别是 和 ,假设两人击中目标与否相

互之间没有影响,每人各次击中目标与否相互之间也没有影响,若两人各射击4次,则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为 .

3.[教材改编] 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们的大小和质地完全相同,甲每次不放回地从盒中任取1球,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为 .

4.[教材改编] 某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学的路上到第3个路口首次遇到红灯的概率

为 .

题组二 常错题

◆

索引:利用间接法求概率,寻找对立事件时出错;条件概率公式

套用错误;对相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误.

5.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为 , , ,则此密码能被破译的概率为 .

6.将三颗骰子各掷一次,设事件A={三颗骰子点数都不同},事件B={至少出现一个6点},则

P(A|B)= .

7.已知计算机毕业考试分为理论与操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,只有两部分考试都“合格”者,才可获得计算机“合格证书”.若甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率分别为,,在操作考试中“合格”的概率分别为,,且所有考试是否合格相互之间没有影响,则甲、

乙两人参加理论与操作两项考试后,恰有一人获得“合格证书”的概率为 .

探究点一 条件概率

例1 (1)先后抛掷一枚骰子两次,记事件A为“朝上的两个数之和为偶数”,事件B为“朝上的两个数均为偶数”,则P(B|A)= ( )

A. B.

C. D.

图9-64-1

(2)如图9-64-1,四边形EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”,则P(B|A)= .

[总结反思] 条件概率的求法:

(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=

求P(B|A).

(2)基本事件法:用古典概型的概率计算公式,先求事件A所包含的基本事件个数n(A),再求事件AB所包含的基本事件个数n(AB),则P(B|A)= .

变式题 (1)袋中装有大小、质地相同的4个红球、3个白球,甲、乙按先后次序不放回地各摸取一球,在甲摸到了白球的条件下,乙摸到白球的概率是 ( ) A. B.

C. D.

(2)[2018·武汉模拟] 若小赵、小钱、小孙、小李到四个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“4个人去的景点各不相同”,事件B为“小赵独自去一个景点”,则P(A|B)= ( ) A. B. C. D.

探究点二 相互独立事件的概率

例2 [2018·北京石景山期末] 共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某种共享单车的收费标准是:每车的使用时间不超过1小时(包含1小时)是免费的,超过1小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算,例如:骑行2.5小时收费2元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为,;1小时以上且不超

过2小时还车的概率分别为 , ;两人的用车时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的车费相同的概率;

(2)设甲、乙两人所付的车费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).

[总结反思] 求相互独立事件同时发生的概率的方法:

(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积; (2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.

变式题 [2018·兰州一中月考] 已知甲、乙两位男生和丙、丁两位女生要参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动,活动共有四关,设男生闯过一至四关的概率依次是 , , , ,女生闯过一至四关的概率依次是 , , , ,且每人每关是否闯过互不影响. (1)求男生闯过四关的概率;

(2)设ξ表示四人中闯过四关的人数,求随机变量ξ的分布列和数学期望.

探究点三 独立重复试验与二项分布

例3 [2018·北京门头沟区一模] 2022年第24届冬奥会将在北京和张家口举行.为了推动我