内容发布更新时间 : 2024/5/18 3:43:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

分式方程中的参数值问题

在学习分式方程这部分内容时，常出现这样一类题目，即已知分式方程有增根、无解或有解时，求字母系数的取值.面对这类题目，许多同学不得要领，束手无策.下面举例分类说明这类问题的解法.

一、方程有增根时，求待定字母的值

解分式方程的思想是用分式方程中的各分式的最简公分母去乘方程的两边，将分式方程化为整式方程，如果解整式方程所得的解，恰好使最简公分母为零，则这个解就是增根.反之，若分式方程有增根，则必是使最简公分母为零的值.根据增根的定义，我们可以得到如下两点：

1、增根不是解题错误造成的，增根是去分母后所得整式方程的根. 2、若分式方程有增根，则增根使分式方程的最简分母为零. 根据这两点我们就可以解决如下问题. 例1、若关于x的方程

ax?1则a的值为__________________. ?1?0有增根，

x?1解析：去分母并整理，得ax?1?x?1，因为原方程最简公分母是（x－1），则原方程有增根只能是x?1，将x?1代入去分母后的整式方程，得a??1.

例2、分式方程

xkx＋－＝0有增根，则k的值为______________. x?1x?1x?1解析：把原方程化为整式方程，整理后得2x?kx?k?0.因为原方程最简公分母是（x－1）（x+1），所以原方程的增根是x?1或x??1，将它们代入化简后的整式方程.

当x?1时，k??1；当x??1时，无解.故应填－1.

说明：1、利用增根来求分式方程中的待定字母的值的方法是：（1）先将分式方程去分母后转化为整式方程；（2）确定原分式方程的增根；（3）将增根代入转化后的整式方程，解之就可以得到所求字母的值；

2、注意有时分式方程的增根不止一个，所以在解决问题时，要仔细观察，认真探究，防止漏解.

二、方程无解时，求待定字母的值 例3、若关于x的方程

x?4m??3无解，则m的值为________. x?5x?512解析：方程两边同乘以（x-5），得 x-4=m+3（x-5）.整理，得m=11-2x.即x=

1 / 3

（11-m），要使原分式方程无解，只需x=

1（11-m）是原分式方程的增根即可，2而原方程最简公分母是（x－5），所以原方程的增根是x=5，所以当x=5时，分式方程无解，所以m=11-10=1.

例4、关于x的方程

3?2x2?mx???1无解，求m的值 x?33?x解析：方程两边同时乘以（x－3），得3－2x－（2+mx）＝－（x－3）， 整理，得（m+1）x＝－2.

因为当x的系数m+1=0，即m=－1时，方程（m+1）x＝－2无解，原分式方程也就无解，所以当m＝－1时，原分式方程无解；

5或由于3是原方程的增根，把x=3代人方程（m+1）x＝－2，得m=?.所

35以当 m＝－1或m=?时，原分式方程无解.

3说明：1、利用无解求分式方程中的待定字母的值的方法是：（1）先将分式方程去分母后转化为整式方程；（2）确定整式方程有解还是无解，当整式方程有解时，确定原分式方程的增根；将增根代入所化的整式方程，解之就可以得到所求字母的值；若整式方程无解，原分式方程就无解.

2、不能受习惯的影响，错误的认为只要x的值是原方程的增根，原分式方程就无解.要注意整式方程本身无解时，原分式方程也无解的情况.

3、整式方程ax＝b的解的情况讨论：（1）当a≠0，方程ax＝b有一解；（2）当a=0，b≠0时，方程ax＝b无解；（3）当a=0，b=0时，方程ax＝b无数解.

三、方程有解时，求待定字母的取值范围 例5、若关于x的方程

x?2m??2有解，则m的取值范围_________. x?3x?3解析：去分母并整理，得x?m?4?0.解之，得x?4?m.此方程有解，所以要使原方程解，则x?4?m不能为增根.又由于原方程的增根为x?3.所以

4?m?3，m?1.所以当m≠1时，原分式方程有解.

例6、已知分式方程

4kx?1+=2有解，求k的值. x?11?x解析：我们可以反过来求解，即当k满足什么条件时，分式方程

4kx?1+=2无解. x?11?x原方程去分母，整理，得（k+2）x=1 ，（1）当k=-2时，此方程无解；

2 / 3

（2）因为分式方程的增根为x=1，所以要使分式方程无解，必须x=即k=－1，所以当k≠3且k≠－2时，原方程无解.

1=1，k?2说明：要使分式方程有解，必须使原方程去分母后，所得的整式方程有解，且解不是原方程的增根.所以由分式方程无解求字母系数的值时，不仅要考虑使最简公分母为零的未知数的值，还要考虑使新方程有（无）解时的字母系数的值.

练习：1、若方程

6m??1有增根，则它的增根是（ ）.

?x?1??x?1?x?1A.0 B.1 C.－1 D.1和－1 2、已知方程

14?x2＋2＝kx?2有无解，则k＝______________. 答案：1、选B 2、填－14.

3 / 3