内容发布更新时间 : 2024/5/22 8:38:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
得b=2.
故所求平面方程为
x4?y2?z4?1
40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知 x?x1x2?x1x3?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1x?1y?1?2?1?1?1z?12?1?0 2?1代入三已知点，有?2?11?1化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.
41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) x – y =0; (5) 2x-3y+4z=0.
解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2） (2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)
图7-2 图7-3
(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y=0表示过z轴的平面（如图7-5） (5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.
图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0 则其法向量为n={A,B,C}
已知平面法向量为n1={1,1,-1} 过已知两点的向量l={1,1,1}
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由题知n·n1=0, n·l=0 即A?B?C?0???C?0, A??B.
?A?B?C?0 所求平面方程变为Ax-Ay+D=0
又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0 故平面方程为x-y=0.
43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件： （1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成π4的角.
解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k-2×6=9
得k=-4.
（2） 两平面的法向量分别为 n1={1,k,-2} n2={2,-3,1} 且cos??n1?n2|n??3k?cosπ?21||n2|5?k2?1442
解得k??702 44. 确定下列方程中的l和m:
(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直. 解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}
nl31?n2?2m??6??1?m??23,l?18
(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}
n1?n2?3?1?5?3?l?2?0?l?6.
45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面. 解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 其法向量n={A,B,C}
n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}
?2n?n1?A?B?C?0?A??Cn?n???3
2?2A?B?C?0???B?C3又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0
故所求平面方程为
?23Cx?C3y?Cz?0
即2x-y-3z=0
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46. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量. 解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}.
n?n1,n?n2
故n?n173?11?n2???12i?721j?31?1k?5i?j?2k
则en??130(5i?j?2k).
47. 求下列直线与平面的交点： (1) x?11?y?1?2?z6, 2x+3y+z-1=0;
(2)
x?2y?12?3?z?32, x+2y-2z+6=0.
?x?1?t解：（1）直线参数方程为??y??1?2t
??z?6t代入平面方程得t=1 故交点为（2，-3，6）.
?x??2?2t（2） 直线参数方程为??y?1?3t
??z?3?2t代入平面方程解得t=0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角： （1）?3z?9?0??5x?3y?2x?2y?z?23?0?3x?2y?z?1?0 和 ??3x?8y?z?18?0；
（2）
x?2?3?1?y?4?y?12?z3 和 ?3??1?z?8?2
??x?1解：（1）两直线的方向向量分别为：
ijks1={5, -3,3}×{3, -2,1}=5?33={3,4, -1} 3?21ijks2={2,2, -1}×{3,8,1}=22?1={10, -5,10} 381 165
由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1⊥s2 从而两直线垂直，夹角为
π2.
?y?3z?8??的方向向量为s1={4, -12,3},直线??1?2的方程可变
?x?1?(2) 直线
x?24?y?3?12?z?13为??2y?z?2?0?x?1?0,可求得其方向向量s2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是
cos??s1?s2s1?s2?6135?0.2064
??78?5?49. 求满足下列各组条件的直线方程：
（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线解：（1）可取直线的方向向量为 s={3，-1，2} 故过点（2，-3，4）的直线方程为
x?23?y?3?1?z?42x2?y?3?1?z?13平行.
（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量
is?n1?n2?10j01k2?{?2,3,1} ?3故过点（0，2，4）的直线方程为
x?2?y?23?z?41
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x?12?y?2?1?z?13z3.
50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系： （1）（2）
x?3?2x3??y?2y?4?7?z7?和4x-2y-2z=3;
和3x-2y+7z=8;
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（3）
x?23?y?21?z?3?4和x+y+z=3.
解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3} 平面的法向量n={4，-2，-2}，所以
s?n?(?2)?4?(?7)?(?2)?3?(?2)?0
于是直线与平面平行.
又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有4?(?3)?2?(?4)?2?0??4?3.故直线不在平面上.
(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.
(3) 直线在平面上，因为3?1?1?1?(?4)?1?0,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线
?x?2y?z?3?0 ??x?y?z?3?0的平面方程.
ij?21k1?i?2j?3k, ?1解：直线的方向向量为11取平面法向量为{1，2，3}，
故所求平面方程为1?(x?1)?2(y?2)?3(z?1)?0
即x+2y+3z=0.
52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为2x?3y?z?3??(x?3y?2z?1)?0 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故2?1?3?(?2)?3?3??(1?3?(?2)?2?3?1)?0 解得λ=-4.
故所求平面方程为
2x+15y+7z+7=0
53. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.
解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即
s=n={1，2，-1}
?x??1?t?所以垂线的参数方程为?y?2?2t
?z??t?将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0
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