内容发布更新时间 : 2025/1/7 12:15:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
得t??23
522,,) 333于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点(??x?y?z?1?054. 求点（3，-1，2）到直线?的距离.
2x?y?z?4?0?解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量
ij1?1k?1??3j?3k 1即n?s?12故过已知点的平面方程为y+z=1. ?x?y?z?1?0?联立方程组?2x?y?z?4?0
?y?z?1?解得x?1,y??即(1,?12,z?32.
13,)为平面与直线的垂足 22于是点到直线的距离为d?(1?3)?(?212?1)?(232?2)?2322.
55. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.
解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2} ?x?1?t?所以垂线的参数方程为?y?2?2t
?z?1?2t?将其代入平面方程得t?48513.
122222()?()?()?1 333故垂足为(,,)，且与点（1，2，1）的距离为d?333即为点到平面的距离.
56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R?1?3?(?2)?2
2
22214.
2
设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)+(y-3)+(z+2)=14
即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.
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(x?2)?(y?0)?(z?3)222解：设该动点为M(x,y,z)，由题意知(x?4)2
?(y?6)2?(z?6)2?3.化简得：8x2
+8y2
+8z2
-68x+108y-114z+779=0 即为动点的轨迹方程.
58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形： （1）(x?a)2a22x2y2?y?(2); （2）?4?9?1; （3）
x2z24?1; （4）y29??z?0;
（5）x2?y2?0; （6）x2?y2?0. 解：（1）母线平行于z轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z轴的双曲柱面,如图7-8.
图7-7 图7-8 （3）母线平行于y轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x轴的抛物柱面，如图7-10.
图7-9 图7-10
（5）母线平行于z轴的两平面，如图7-11. （6）z轴，如图7-12.
图7-11 图7-12
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59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形： 22（1）x2?y4?z9?1; （2）36x2?9y2?4z?36;
3）x2?y2z2（4?9?1; （4）x2?y24?z29?11;
（5）x2?y2?z29?0.
解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.
图7-13 图7-14
(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.
图7-15 图7-16
(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z轴，如图7-17.
图7-17
60. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x2+y2+z2=a2与z=0,z=
a2 (a>0); (2) x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;
(3) z=4-x2, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z=0及x+y=1.
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解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.
图7-18 图7-19
图7-20 图7-21
61. 求下列曲面和直线的交点： (1)
x2
81x2?y236y2?z29z2?1与
x?33x4?y?4?6?z?24;
(2)
16?9?4?1与?y?3?z?24.
解：（1）直线的参数方程为
?x?3?3t??y?4?6t ?z??2?4t?代入曲面方程解得t=0,t=1.
得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为
?x?4t? ?y??3t?z??2?4t?代入曲面方程可解得t=1,
得交点坐标为（4，-3，2）.
62. 设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.
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解：设（x，y，z）为圆上任一点，依题意有
??x2?y2?9 ?z??5即为所求圆的方程. 2263. 试考察曲面
xy29?25?z4?1在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.
(1) 平面x=2; (2) 平面y=0; (3) 平面y=5; (4) 平面z=2.
?y2z2?解：（1）截线方程为???(55?)(25?12)2 ?33??x?2其形状为x=2平面上的双曲线.
?x22（2）截线方程为??9?z4?1 ??y?0为xOz面上的一个椭圆.
?x22(3) 截线方程为?)2?z(22)2?1?(32
??y?5为平面y=5上的一个椭圆.
?x2y2(4) 截线方程为??9?25?0 ??z?2为平面z=2上的两条直线.
64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为
x2?y2?a22
?2故曲线在xOy面上的投影曲线方程为??x2?y2?a2
??z?065. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在xOy平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为
x2
+y2
=x+1即(x?12)2?y2?54.
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125?2(x?)?y??故曲线在xOy平面上的投影方程为?24
?z?0?
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