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高二数学 选修2-1 第二章 2.3双曲线 《2.3.1双曲线及其标准方程》教学设计

——zxf

一、教学目标 1.知识与技能

理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法．

2．过程与方法

通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．

3．情感、态度与价值观

通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．

二、重点难点

重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程． 难点：双曲线标准方程的推导．

三、教学方法 探究法，自主练习

四、教学过程

（一）探究双曲线的轨迹形成

1．我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆，（利用几何画板，演示椭圆的形成）那么与两定点距离的差（小于两定点的距离之差）为非零常数的点的轨迹是什么？

如图，固定的两个点F1，F2，动点M到点F1，F2的距离MF1与MF2之差为非零常数，动点M形成的轨迹是什么？（几何画板演示，这样的动点M形成的轨迹，是双曲线。）

2．若定义中的常数大于或等于|F1F2|时，轨迹是什么？

【提示】 当常数等于|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点，在直线F1F2上反向的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．

当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在．

双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

这里主要是和椭圆进行类比教学，通过椭圆向双曲线过度，也就是类比椭圆的形成，学生自由探究双曲线的形成。

（二）探究双曲线的标准方程（推导）

类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？

【提示】 以经过两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建坐标系．

标准 方程 焦点 焦距 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2F1(－c,0)，F2(c,0) y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2 这里主要也是和椭圆进行类比教学，回忆椭圆的标准方程是怎样推导的，自己尝试推导出双曲线的标准方程。这里也涉及了很重要的数学方法，通过繁琐的计算过程，最后推导公式，培养学生的严谨思维和分类讨论的思想。

（三）双曲线的标准方程应用

例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．

2

(1)a＝4，且经过点A(1，

410

)； 3

34

(2)经过点P1(－2，5)和P2(7，4)两点．

23

【思路探究】 (1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求出a2、b2的值？

x2y2

【解答】 (1)①若所求双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，

aby2410

则将a＝4代入，得－2＝1. 又∵点A(1，)在双曲线上，

16b3∴

1160

－2＝1.由此得b2＜0， ∴不合题意，舍去． 169bx2

y2x2y2x2

②若所求双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则将a＝4代入得－2＝1，

ab16b410y2x22

代入点A(1，)，得b＝9， ∴双曲线的标准方程为－＝1.

3169

x2y2

(2)法一 当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为2－2＝1(a＞0，bab＞0)．

∵P1、P2在双曲线上，

??∴???

－

2

a2473

－

2

352

2

b2

2

＝1

a2

4－2＝1

b

3

11

??a＝－16，解得?

11＝－?9?b22

(不合，舍去)．

当双曲线的焦点在y轴上时，

y2x2

设双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．又∵P1、P2在双曲线上，

ab