内容发布更新时间 : 2024/7/8 23:49:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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华南理工大学期末考试

《信息安全数学基础》试卷B

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 四大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 一 得 分 评卷人 二 三 四 总分 一． 选择题：（每题2分，共20分）

1．设a, b都是非零整数。若a?b，b?a，则 ( )。 (1) a＝b，(2) a＝? b，(3) a＝－b，(4) a > b 2．大于10且小于50的素数有 ( ) 个。

(1) 9，(2) 10，(3) 11，(4) 15

3．模7的最小非负完全剩余系是 ( )。

(1) －3, －2, －1, 0, 1, 2, 3， (2) －6, －5, －4, －3, －2, －1, 0， (3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7， (4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 4．模30的简化剩余系是 ( )。

(1) －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29， (2) －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29， (3) 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29， (4) －1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 5．设n是整数，则 (2n, 2(n＋1))＝( )。

(1) 1，(2) 2，(3) n，(4) 2n

6．设a, b是正整数，若 [a, b]＝(a, b)，则 ( )。 (1) a＝b，(2) [a, b]＝ab，(3) (a, b)＝1，(4) a > b 7．模17的平方剩余是 ( )。

(1) 3，(2) 10，(3) 12，(4) 15

8．整数5模17的指数ord17(5)＝( )。

(1) 3，(2) 8，(3) 16，(4) 32

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_____________ ________ 姓名 学号 9．欧拉(Euler)定理：设m是大于1的整数，如果a是满足(a, m)＝1的整数，则 ( )。

(1) a m＝a (mod m)， (2) a ? (m)＝1 (mod a)， (3) a ? (m)＝a (mod m)， (4) a ? (m)＝1 (mod m)

10．Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a，有 ( )。

(1) a p＝a (mod a)， (2) a p＝a (mod p)， (3) a ? (m)＝a (mod m)， (4) a ? (p)＝a (mod p)

二． 填空题：（每题2分，共20分）

1．设m是正整数，a是满足a ? m的整数，则一次同余式：ax ? b (mod m)有解的充分必要条件是 。当同余式ax ? b (mod m) 有解时，其解数为 。

2．设m是正整数，则m个数0, 1, 2, … , m－1中 叫做m的欧拉(Euler)函数，记做? (m)。

3．设m是正整数，若同余式 有解，则a叫模m的平方剩余。

?s?1?24．设a, b是正整数，且有素因数分解 a?p1p2?ps,?i?0,i?1,2,?,s，?2b?p1?1p2?ps?s,?i?0,i?1,2,?,s，则(a, b)＝ ，

[a, b]＝ 。

5．如果a对模m的指数是 ，则a叫做模m的原根。 6．3288的素因数分解式是 。

7．Wilson定理：设p是一个素数，则 。 8．2006年1月18日是星期三，第220060118天是星期 。 9．(中国剩余定理) 设m1, …, mk是k个两两互素的正整数，则对任意的整数b1, …, bk 同余式组 x ? b1 (mod m1)

… … … …

x ? bk (mod mk)

有唯一解。令m＝m1…mk，m＝miMi，i＝1,…,k，则同余式组的解为： ， 其中 。

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?k?110．正整数n有标准因数分解式为 n?p1，则n的欧拉函数 ?pk? (n)＝ 。

三．证明题 （写出详细证明过程）：（每题7分，共28分）

1．证明：如果正整数a，b满足(a, b)＝1，则 (an, bn)＝1。

2．证明：设m是一个正整数，a ? b (mod m)，则(a, m)＝(b, m)。

3．设m是一个正整数，a满足(a, m)＝1，则存在整数a?，1 ? a? < m使得 aa??1 (mod m)。

4．设p，q是两个不同的奇素数，n＝pq，a是与pq互素的整数。整数e和d满足(e, ? (n))＝1，ed ? 1 (mod ? (n))，1 < e < ? (n)，1 ? d< ? (n)。 证明：对任意整数c，1 ? c< n，若ae ? c (mod n)，则有cd ? a (mod n)。

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