内容发布更新时间 : 2024/5/18 10:46:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

提分专练(八) 与圆有关的证明及计算

|类型1| 平面直角坐标系中的圆

1.[2019·无锡]如图T8-1,一次函数y=kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B,且sin∠ABO=2,△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3. (1)求这个一次函数的表达式; (2)求图中阴影部分的面积.

√3

图T8-1

2.[2017·酒泉]如图T8-2,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C. (1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标; (2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.

图T8-2

|类型2| 垂径定理与勾股定理联手

?上的一点,过点P作PC⊥OA,垂足为C.PC与AB交于3.[2019·苏州]如图T8-3,扇形OAB中∠AOB=90°,P为????点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为 .

图T8-3

|类型3| 与圆有关的图形的面积

4.[2018·达州]已知,如图T8-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.

(1)求证:DF是☉O的切线;

?,DF,EF围成的阴影部分的面积. (2)若等边三角形ABC的边长为8,求由????

图T8-4

|类型4| 与圆的切线有关的问题

5.[2019·巴中]如图T8-5,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M. (1)求证:DC是☉O的切线;

(2)若AC=4MC且AC=8,求图中阴影部分的面积;

(3)在(2)的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.

图T8-5

|类型5| 圆与四边形结合的问题

6.[2019·温州]如图T8-6,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的☉O交AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF. (1)求证:四边形DCFG是平行四边形; (2)当BE=4,CD=8AB时,求☉O的直径长.

3

图T8-6

|类型6| 圆与三角函数结合的问题

7.如图T8-7,AB是☉O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB. (1)判断BD与☉O的位置关系,并说明理由; (2)若CD=15,BE=10,tanA=12,求☉O的直径.

5

图T8-7

|类型7| 圆与相似三角形结合的问题

8.[2019·滨州]如图T8-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.

(1)求证:直线DF是☉O的切线; (2)求证:BC2=4CF·AC;

(3)若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.

图T8-8

【参考答案】

1.解:(1)作MN⊥BO于N,由垂径定理得N为OB中点,∴MN=2OA, ∵MN=3,∴OA=6,即A(-6,0). ∵sin∠ABO=2,OA=6, ∴AB=4√3,OB=2√3,B(0,2√3), 将A,B点坐标代入y=kx+b, ??=2√3,

得{??=2√3,解得{ √3-6??+??=0,??=,

3

√31

∴y=3x+2√3.

(2)由(1)得∠ABO=60°,连接OM,则∠AMO=120°,AM=MB=2AB=2√3. ∴阴影部分面积为S=360×(2√3)2-2×6×√3=4π-3√3.

120π

1

1

√3

2.解:(1)∵A的坐标为(0,6),N的坐标为(0,2),∴AN=4, ∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8, ∴由勾股定理可知:NB=4√3,∴B(4√3,2). (2)证明:连接MC,NC.

∵AN是☉M的直径,∴∠ACN=90°,

∴∠NCB=90°,在Rt△NCB中,D为NB的中点, ∴CD=2NB=ND,∴∠CND=∠NCD. ∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC. ∵∠MNC+∠CND=90°,

∴∠MCN+∠NCD=90°,即MC⊥CD,

1