内容发布更新时间 : 2024/5/23 18:38:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第27讲 平面向量的基本定理及坐标运算

【课程要求】

1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．

对应学生用书p76

【基础检测】

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( )

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√

教材改编

2．[必修4p97例5]已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．

→→

[解析]设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，

???4＝5－x，?x＝1，即?解得? ?1＝6－y，?y＝5.??

x1y1

x2y2

[答案] (1，5)

3．[必修4p119A组T9]已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，

则＝________．

[解析]由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)， 得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线， 得

2m－n3m＋2nm1

＝，所以＝－. 4－1n2

mn1

[答案]－

2

易错提醒

4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________． [答案]0

→→

5．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________． →

[解析]根据题意得AB＝(3，1)，

→→→

∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． [答案] (－7，－4)

→→→

6．已知向量a＝(－1，2)，点A(－2，1)，若AB∥a且|AB|＝35，O为坐标原点，则OB的坐标为( )

A．(1，－5) B．(－5，7)

C．(1，－5)或(5，－7) D．(1，－5)或(－5，7)

→→

[解析]由AB∥a知，存在实数λ，使AB＝λa＝(－λ，2λ)， →22

又|AB|＝35，则λ＋4λ＝9×5，即λ＝3或λ＝－3， →

所以AB＝(3，－6)或(－3，6)．又点A(－2，1)， →→→

所以OB＝OA＋AB＝(1，－5)或(－5，7)． [答案]D 【知识要点】 1．平面向量基本定理

如果e1和e2是一个平面内的两个__不共线__向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面

内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋

yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|＝x＋y叫做向量a的长度(模)．

3．平面向量坐标运算

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b向量的加减法 ＝__(x1－x2，y1－y2)__. 实数与向量的积 向量的坐标 若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝__(λx1，λy1)__. →若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝__(x2－x1，y2－y1)__. 224.两向量平行和垂直的坐标表示

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－y1x2＝0. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

对应学生用书p76

平面向量基本定理的应用

例1 (多选)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( ) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(1，1)，e2＝(2，1) [解析]法一：设a＝k1e1＋k2e2，

??k2＝3，

A选项，∵(3，2)＝(k2，2k2)，∴?无解；

?2k2＝2，?

B选项，∵(3，2)＝(－k1＋5k2，2k1－2k2)，