内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:04:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第9章 重积分及其应用

1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：{(x,y,z)|x2?y2?z2?R2;z?0}；

(2) 由抛物面z?2?x2?y2，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体 解答：(1) V???R2?x2?y2dxdy,D?{(x,y)|x2?y2?R2}；

D(2) V???(2?x2?y2)dxdy,D?{(x,y)|x2?y2?1}

D所属章节：第九章第一节 难度：一级

2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) (2)

??Da2?x2?y2d?，其中D为x2?y2?a2；

22222x?y?a,b?a?0 ，其中D为(b?x?y)d???D解答：(1)

(2)

??D2a2?x2?y2d??πa3；

323222(b?x?y)d??πab?πa ??3D所属章节：第九章第一节 难度：一级

3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为

???(x,y)，且?(x,y)在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q．

解答：Q????(x,y)d?

D所属章节：第九章第一节 难度：一级

4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：p??g??xd?

D所属章节：第九章第一节 难度：一级

5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小

(1) I1???(x?y)2d?与I2???(x?y)3d?，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成

DD的区域；

(2) I1???ln(x?y?1)d?与I2???ln(x2?y2?1)d?，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤

DD1；

(3) I1???sin2(x?y)d?与I2???(x?y)2d?，其中D是任一平面有界闭区域；

DD(4) I1???exyd?与I2???e2xyd?，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1；

DD解答：(1) 在区域D内部，x?y?1，所以I1>I2；

(2) 在区域D内部，x?x2,y?y2，故ln(x?y?1)?ln(x2?y2?1)，所以 I1>I2；？ (3) 由于sin2(x?y)?(x?y)2，所以I1

(4) 在区域D内部，xy?0，故exy?e2xy，所以I1>I2 所属章节：第九章第一节 难度：一级

6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) I???Dd?,D?{(x,y)|0?x?4,0?y?8}；

ln(4?x?y)(2) I???sin(x2?y2)d?,D???(x,y)D?π3π??x2?y2??； 44?(3) I???D1d?,D?{(x,y)||x|?|y|?1}； 22100?cosx?cosy221?22(x,y)x?y?(4) I???ex?yd?,D????

D?4?解答：(1) 由于D?{(x,y)|0?x?4,0?y?8}的面积为

111816??，而等号不恒成立，故； ?I?ln16ln(4?x?y)ln4ln2ln232，在其中

(2) 由于D???(x,y)?2π3π?1?sin(x2?y2)?1，而等号?x2?y2??的面积为?2，在其中244?22π2π2?I?不恒成立，故； 42(3) 由于D?{(x,y)||x|?|y|?1}的面积为2，在其中号不恒成立，故

11； ?I?5150111??，而等102100?cos2x?cos2y100注：原题有误？还是原参考答案有误？如将D?{(x,y)||x|?|y|?1}改为

D?{(x,y)||x|?|y|?10}，则区域面积为200，结论为

100?I?2 5111?12222(4) 由于D???(x,y)x?y??的面积为?，在其中1?sin(x?y)?e4，而等号不恒成

4?4?立，故?I?π4πe． 414所属章节：第九章第一节 难度：二级

7．设f(x，y)是连续函数，试求极限：limr?0?1πr2x2?y2?r2??f(x,y)d?

解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得

r?0lim?1?r2x?y2?r22??f(x,y)d??lim?r?01f(?,?)???limf(?,?)?f(0,0)．

r?0??r2