内容发布更新时间 : 2024/7/1 3:12:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程

1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(?6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？

解：动点M在轨迹上的充要条件是MA?

1MB。设M的坐标(x,y)有 2(x?3)2?y2?1(x?6)2?y2 化简得(x?6)2?y2?36 2故此动点M的轨迹方程为(x?6)2?y2?36

此轨迹为椭圆

2.有一长度为2a(a＞0）的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，

是求此线段中点的轨迹。A，B为两端点，M为此线段的中点。 解：如图所示 设A(x,o),B(o,y).则M(,).在RtAOB中有

xy22(x2?y2)?(2a)2.把M点的坐标代入此式得:

(x2?y2)?a2(x?0,y?0).∴此线段中点的轨

迹为(x?y)?a.

222

3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值m2,求此动点的轨迹.

解:设两定点的距离为2a,并取两定点的连线为x轴, 两定点所连线段的中垂线为y轴.现有:

AM?BM?m2.设M(x,y)在RtBNM中

222 (a?x)?y?AM. (1) 在RtBNM中

2

(a?x)2?y2?BM. (2) 由(1)(2)两式得:

(x2?y2)2?2a2(x2?y2)?m4?a4.

4.设P,Q,R是等轴双曲线上任意三点,求证PQR的重心H必在同一等轴双曲线上.

?x?ct?证明:设等轴双曲线的参数方程为?c P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).重心H

y??t?

(

x1?x2?x3y1?y2?y3,) 33

5.任何一圆交等轴双曲线xy?c2于四点P(ct1,),Q(ct2,一定有t1t2t3t4?1.

ct1ccc),R(ct3,)及S(ct4,).那么

t3t4t2

证明:设圆的方程x2?y2?2Dx?2Ey?F?0.圆与等轴双曲线交点(ct,),则代入得

ctc22Ecct?2?2Dct??F?0.整理得: c2t4?2Dct3?Ft2?2Ect?c2?0.可知

tt22c2,则有韦达定理t1?t2?t?3t4?(?1)2?1. (i?1,2,是它的四个根3c4

8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴y2?x3; ⑵ x?y2?3?解:⑴?x?t

??y?t1212?a,?a?0?; ⑶x3?y3?3axy?0,?a?0?.

124令x?acos?,代入方程x?y?a

121212得y?a?acos1212122??asin2?,y?asin4?

124??x?acos?. ?参数方程为?4??y?asin?33⑶令y?tx,代入方程x?y?3axy?0

得1?tx?3atx?0

?3?32?x21?t3x?3at?0

?x?0或x?3at1?t3

????3at23at当x?0时,y?0;当x?时,y?

1?t31?t3

3at?x???1?t3故参数方程为?. 2?y?3at?1?t3?

§2.2 曲面的方程

1、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C22?2MA?z

?z

亦即(x?4)?y?z?(x?4)2?y2?0

由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x?4)2?y2?0

2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：

（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；

（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m，二定点的距离为2a，则二定点的坐标为(a,0,0),(?a,0,0)，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则

M(x,y,z)?C2?22(x?a)2?y2?z2?m(x?a)2?y2?z2

2222亦即(x?a)?y?z?m[(x?a)?y?z]

经同解变形得：(1?m)(x?y?z)?2a(1?m)x?(1?m)a?0 上式即为所要求的动点的轨迹方程。

（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为2c，距离之和常数为2a。设动点M(x,y,z)，要求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C2222222?(x?c)2?y2?z2?(x?c)2?y2?z2?2a

222222亦即(x?c)?y?z?2a?(x?c)?y?z