内容发布更新时间 : 2024/5/12 17:49:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

P?K?2?P(k)?1?P(0)?P(1)

666656 ?1?(0.4)?6?(0.6)(0.4)?0.95904

2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。

解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则P(A)?0.2

03012 所求的概率为 P?C3P(A)P(A)?C3P(A)P(A) ?(0.2)?3?(0.2)?0.8?0.104

3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。 解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中” P(D1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) ?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36 32P(D2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) ?0.4?0.5?0.3?.0?4.0?5.0?7.0?6.0?5.?0 7.P(D3)?P(ABC)?0.4?0.5?0.7?0.14

D)P(H|1D?) P(H)?P(1P(D)2D)P(H2|?3P(D)P( H3|D) ?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458

4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）； （2）求缺陷在第n个过程结束之前被查出的概率；

（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。

（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；

（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设p?0.5）。

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解：设Ak =“第k个过程前有缺陷的元件被查出” B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查” 2 （1） P(A1?A1A2)?P(A1)?P(A1)P(A2)?p?p(1?p)?2p?p （2） P(A1?A1A2?A1A2A3??A1A22An?1An) ?p?p(1?p)?p(1?p)? ?1?(1?p)

3 （3）P(A1A2A3)?(1?p) ?p(1?p)n?1

n3 （4）P(C)?P(BA1A2A3?B)?0.1?(1?p)?0.9 （5）P(A1A2A3|C)?P(BA1A2A3) P(C)0.1(1?p)3 ??0.0137 （p?0.5） 30.1(1?p)?0.95．设A，B为两个事件，P(A|B)?P(A|B),P(A)?0,P(B)?0，证明A与B独立。 证： 由于P(A|B)?P(AB)P(A)?P(AB)P(AB)? P(A|B)? P(B)1?P(B)P(B) 已知 P(A|B)?P(A|B) 有 P(AB)P(A)?P(AB)? 1?P(B)P(B) 即 P(AB)?P(A)P(B) 所以 A与B独立

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（五）

一、选择题：

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1．对于任意两个事件A和B [ B ] （A）若AB??，则A，B一定独立 （B）若AB??，则A，B有可能独立 （C）若AB??，则A，B一定独立 （D）若AB??，则A，B一定不独立 2．设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，则 [ D ] （A）事件A和B互不相容 （B）事件A和B互相对立 （C）事件A和B互不独立 （D）事件A和B相互独立

3．设A，B为任意两个事件且A?B，P(B)?0，则下列选项必然成立的是 [ B ] （A）P(A)?P(A|B) （B）P(A)?P(A|B) （C）P(A)?P(A|B) （D）P(A)?P(A|B) 二、填空题：

1．已知A，B为两个事件满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)? 1?p 2．设两两独立的事件A，B，C满足条件ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?1，且已知 2P(A?B?C)?9，则P(A)? 0.25 163．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 2/3 三、计算题：

1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为率相等，求A发生的概率P(A) 解：已知 P(AB)?P(A)P(B)?1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概91 又P(AB)?P(BA) 9 而 P(AB)?P(A)?P(AB) P(BA)?P(B)?P(AB) 所以，有P(A)?P(B) P(A)? 故 P(A)?

2．如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善

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1 32 3可靠性。在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。

12 解：设一个电路闭合的可靠性为p，已知 C2p(1?p)?p?0.96，

所以 p?0.8

设n个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999 则

?Ck?1nknkp(1?p)??Cn(0.8)k(0.2)n?k?1?(0.2)n?0.9999 kkk?1n 即 (0.2)?0.000 1 n?nlg0.0001?5.722, 7

lg0.2所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。

3．将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为?，而输出为其他一字母的概率为

1??。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分2别为p1,p2,p3(p1?p2?p3?1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的） 解：P(AAAA|ABCA) ?P(AAAA)P(ABCA|AAAA) P(AAAA)P(ABCA|AAAA)?P(BBBB)P(ABCA|BBBB)?P(CCCC)P(ABCA|CCCC)2?1???p1??2?2??? ? 233?1????1????1???3p1??2???p????p???2??2??2??2????? ?

4．一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为

2p1? (3p1?1)??p2?p3?nn!e??(n?0,1,2,)，假设产品的优质

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率为p(0?p?1)。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：

（1）计算生产线在两次故障间共生产k件（k = 0，1，2，…）优质品的概率；

（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。 解：

An:生产n件产品不出故障；B:共生产k件优质品。????1）P(B)??P(B|Akn)P(An)??CknP(1?P)n?k?nn?kn?kn!e?? 2）P(AP(AmB)P(B|Am)P(Am)m|B)?P(B)?P(B)

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量及其分布（一）

一．选择题：

1．设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 [ ] Xxxxx （A）

123x4X1x2x3x4p1 （B） 214181 16p1214181 8Xx1x2x3x4Xx1xx （C）

23x4p1213141 （D） 12p12131?1 412 2．设随机变量ξ的分布列为 X0123p0.10.30.40.2F(x)为其分布函数，则F(2)= [ ]

（A）0.2 （B）0.4 （C）0.8 （D）1 二、填空题：

1．设随机变量X 的概率分布为

X012pa0.20.5，则a =

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（（