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2018年全国各地中考数学压轴题汇编（湖南专版）

几何综合

1．（2018?长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3． （1）求CE的长；

（2）求证：△ABC为等腰三角形．

（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

参考答案与试题解析

（1）解：∵AD是边BC上的中线， ∴BD=CD， ∵CE∥AD，

∴AD为△BCE的中位线， ∴CE=2AD=6；

（2）证明：∵CE∥AD， ∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE， 而∠BAD=∠CAD， ∴∠ACE=∠E， ∴AE=AC， 而AB=AE， ∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形． （3）如图，连接BP、BQ、CQ， 在Rt△ABD中，AB=

=5，

设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r， 在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=

，

∴PD=PA﹣AD=﹣3=，

∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，

∴?r?5+?r?8+?r?5=?3?8，解得r=， 即QD=，

∴PQ=PD+QD=+=．

答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．

2．（2018?株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．

（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND； （2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=

，求tan∠ABM的值．

解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90° ∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．

（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM ∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90° ∴∠DAM=∠AND ∴ND∥AM

∴△DNT∽△AMT ∴∵AT=∴

，

∵Rt△ABM ∴tan∠ABM=

3．（2018?长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；

AB=AD且CB≠CD，②在凸四边形ABCD中，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①

=

；②

=

；③“十字形”ABCD的周长为12

．

解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直， ∴菱形，正方形是：“十字形”，

∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直， ∴平行四边形，矩形不是“十字形”， 故答案为：菱形，正方形； ②如图，