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天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）选题审批表

系别：理学系 专业：数学与应用数学 学生姓名 指导教师 顾鹏飞 张筱玮 学号 职称 13583115 教授 所选题目名称：勾股定理的证明方法及应用研究 选题性质： （ ）A.理论研究 （√）B.应用研究 （ ）C.应用理论研究 选题的目的和理论、实践意义： 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 为以后学习三角函数奠定基础。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12] 更为重要的是，其后希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。 指导教师意见： 签字： 年 月 日 系领导小组意见： 签字： 年 月 日 备注：

天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）开题

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系别：理学系 专业： 数学与应用数学

论文题目 指导教师 张筱玮 职称 勾股定理的证明方法及应用研究 教授 学生姓名 顾鹏飞 学号 13583115 一、研究目的（选题的意义和预期应用价值） 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 为以后学习三角函数奠定基础， 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12] 更为重要的是，其后希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。 二、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所突破和创新的方面（文献综述） 中国：公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“?故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。 公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。 在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。 外国：在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。 公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。

公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。 1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。 勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理（Pythagoras Theorem）． 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 参考文献 [1] 任继愈.中国古代数学[M].北京：商务印书馆，1997（1）：66. [2]孔凡茹 孔凡伟 熊昌雄.勾股定理的早期记载和证明[J].宜宾学院学报，2007（12）：28. [3] 王树禾.数学聊斋[M] . 科学出版社,2004(2) ：100 . [4] 潘有发. 几个与勾股定理有关的趣味诗词古算题[J]. 中学生数学, 2007 (1) :23. [5]张彩明.蚂蚁怎样走最近[J].中学生数理化，2006（7）：45. [6]《数学原理》[J].人民教育出版社. [7]《探究勾股定理》[M].同济大学出版社. [8]《优因培揭秘勾股定理》[M].江西教育出版社. 三、分析研究的可能性、基本条件及能否取得实质性进展（方案论证） 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 勾股定理的证明表达着不同的文化内涵，若将不同的证明思想相融合，可使古老的方法迸发出新的火花。数学史上关于勾股定理的最早证明记载于欧几里得《几何原本》，在中国古代数学中则是以算法形式呈现的。 三国时期东吴数学家赵爽，在给《周髀算经》作注释的时候突发灵感证明了勾股定理。现在的数学课本中对勾股定理的证明就是它的简化。 如图，连接HB,HD