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高等数学下（修订版）高纯一（复旦出版社）

习题十二答案详解

1．写出下列级数的一般项： (1)1?13?15?17??； (2)x2?x2?4?xxx22?4?6?2?4?6?8??； a3a5a7a9(3)3?5?7?9??；

解：(1)Un?12n?1； n2

(2)Uxn??2n?!!；

?1

(3)Un???1?n?1a2n2n?1； 2．求下列级数的和： ?(1)

?1?x?n?1??x?n??x?n?1?；

n?1(2)

???n?2?2n?1?n?；

n?1(3)

15?1152?53??； 解：(1)u1n??x?n?1??x?n??x?n?1?

?1?112???x?n?1??x?n????x?n??x?n?1??? 283

从而S1?n?12??x?x?1??1?x?1??x?2??1?x?1??x?2??1?x?2??x?3? ???1?x?n?1??x?n??1??x?n??x?n?1????1?12??x?x?1??1??x?n??x?n?1???因此limS1n??n?2x?x?1?，故级数的和为

12x?x?1?

(2)因为Un??n?2?n?1???n?1?n?

从而Sn??3?2???2?1???4?3???3?2???5?4???4?3?????n?2?n?1???n?1?n??n?2?n?1?1?2?1n?2?n?1?1?2所以limn??Sn?1?2，即级数的和为1?2．

(3)因为Sn?15?1152???5n 1?1???1?n??5???5????1?15?1?4??1???1?n?5?????从而limS1n??n?4，即级数的和为14． 3．判定下列级数的敛散性： ?(1)

??n?1?n?；

n?1(2)

111?6?6?11?111?16???1?5n?4??5n?1???； (3) 23?2223n?12n33?33?????1?3n??； (4)

15?15?1135???n5??；

284

解：(1) Sn??2?1???3?2?????n?1?n?

?n?1?1从而limn??Sn???，故级数发散．

(2) S1?5??1?16?16?111?111?116???15n?4?1?n?5n?1??

?1?1?5??1?5n?1??从而limS1n?5，故原级数收敛，其和为15．

n??(3)此级数为q??23的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．

(4)∵Un?1n5，而limn??Un?1?0，故级数发散． 4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：

???1?n?1?(1) ?；

(2)

n?1n?cosnxn； n?12?(3)

???111n?1?3n?1?3n?2??3n?3??． 解：(1)当P为偶数时，

Un?1?Un?2???Un?p??1?n?2??1?n?3??1?n?4??1?n?p?1?n?1?n?2?n?3???n?p?1n?1?1n?2?1n?3???1n?p?1?11??1n?1???n?2?n?3???????n?p?2?1?1n?p?1???n?p?1n?1当P为奇数时，

285

Un?1?Un?2???Un?p??1?n?2??1?n?3??1?n?4??1?n?p?1??????n?1n?2n?3n?p??1111?????n?1n?2n?3n?p11?1?1??1?????????n?p?1n?p?n?1?n?2n?3???

1?n?1因而，对于任何自然数P，都有

Un?1?Un?2???Un?p??ε>0，取N?11?， n?1n?1??1，则当n>N时，对任何自然数P恒有Un?1?Un?2???Un?p??成????????1?n?1立，由柯西审敛原理知，级数?收敛．

nn?1(2)对于任意自然数P，都有

Un?1?Un?2???Un?p??cos?n?p?xcos?n?1?xcos?n?2?x????2n?12n?22n?p111????2n?12n?22n?p1?1?1???2n?1?2p?11?

21?1?1???2n?2p?12n???于是， ?ε>0(0<ε<1)，?N=?log2??1?，当n>N时，对任意的自然数P都有???Un?1?Un?2???Un?p??成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．

(3)取P=n，则

286

Un?1?Un?2???Un?p111111????????????3?2n?13?2n?23?2n?3?3?n?1??13?n?1??23?n?1??3?11????3?n?1??13?2n?1n?6?n?1?1 ?12从而取?0?1，则对任意的n∈N，都存在P=n所得Un?1?Un?2???Un?p??0，由柯12西审敛原理知，原级数发散．

5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)

111??????；

????4?65?7n?3n?5(2)1??1?21?31?n?????? 2221?21?31?n(4)

π(3)?sinn；

3n?11(5)?nn?11?a??n?1??12?n1n3；

?a?0?；

(6)

??2n?1?1?．

解：(1)∵ Un??11?2

?n?3??n?5?n?1而?2收敛，由比较审敛法知?Un收敛． n?1nn?1(2)∵Un??1?n1?n1?? 1?n2n?n2n而

1发散，由比较审敛法知，原级数发散． ?n?1nππsinnn33(3)∵lim?limπ??π

n??n??1π3n3nsin?ππ而?n收敛，故?sinn也收敛．

3n?13n?1? 287