内容发布更新时间 : 2024/12/24 20:42:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
18.已知正三角形1).将
的边长为3,折起到
分别是
平面
边上的点,满足
,连接
(如图2).
(如图
的位置,使平面
(1)求证:(2)求二面角
平面 ; 的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 【分析】 (1)在图中,取
的中点,连接,证明平面
是等边三角形,由此证得.(2)以为原点,以向量
,即在图中有的方向为
,轴的
根据面面垂直的性质定理可证得
正方向建立空间直角坐标系,利用平面的法向量和的法向量,计算二面角的余弦值.
【详解】解:(1)在图1中,取BE的中点D,连结DF. ∵∴而又
即在图2中,∵平面
平面
平面. . ,∴,∴
, ,平面
平面
,
是正三角形.
,
(2)由(1)知,即以E为原点,以向量
平面,的方向为
.
轴的正方向建立如图所示的坐标系,
则.
.
设由取由取所以
,得,得
,得
,
,得
分别是平面
,
,
,
和平面的法向量,
.
因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.
【点睛】本小题主要考查折叠问题,考查线面垂直的证明,考查利用空间向量法求二面角的余弦值,属于中档题.
19.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示: 下周一 下周二 收益
若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元,有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益; (2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.
无雨 无雨 20万元 无雨 有雨 15万元 有雨 无雨 10万元 有雨 有雨 7.5万元
【答案】(1)分布列见解析,14.4万元. (2)当额外聘请工人的成本高于
万元时,不外聘工人:成本低于
万元时,外聘工人:成本恰为
万元时,
是否外聘工人均可以.理由见解析. 【解析】
分析:(Ⅰ)根据基地收益为
万元的概率为
,即基地无雨的概率为0.36,可求出周一无雨的概率为
;根据独立性事件的概率,可求出另外几种情况下的概率。列出基地收益分布列,即可根据公式求期望来表示其预期收益。
(Ⅱ)周一采摘完的预期收益为
。这时讨论的情况确定是否外聘工人。 详解:(Ⅰ)设下周一无雨的概率为,由题意,基地收益的可能取值为
.
∴基地收益的分布列为:
∴基地的预期收益为
万元.
,
,
,
,
,则
,
,
,
,
,
。所以和两天采摘相比,收益高出来了
(Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为万元, 则其预期收益
,
综上,当额外聘请工人的成本高于时,是否外聘工人均可以.
点睛:本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的求法。主要理解题意,正确判断无雨的概率,进而能够求出在各种情况下的概率,求出其分布列,属于简单题。 20.已知抛物线(1)若
上在第一象限内的点H(1,t)到焦点F的距离为2.
的值;
(其中O为坐标原点).
万元时,不外聘工人:成本低于
万元时,外聘工人:成本恰为
万元
(万元),
,过点M,H的直线与该抛物线相交于另一点N,求
(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且①求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;
②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G、D两点,求四边形AGBD面积的最小值. 【答案】(1) 【解析】 【分析】
(1)根据点的坐标和抛物线的定义,求得的值,进而求得抛物线的方程以及点的坐标,由此求得直线的方程,联立直线出直线
的方程和抛物线的方程,求得点的横坐标,利用抛物线的定义求得
的值.(2)①设
,由此证
(2) ①见证明; ②最小值88
的方程,与抛物线方程联立,写出韦达定理,利用向量数量积的坐标运算,化简
,由此求得四边形
得直线过定点. ②利用①的结论求得调性来求得四边形【详解】解:(1)∵点故抛物线E的方程为:所以当∴直线
时
,
,联立.
(2)①证明:设直线联立抛物线方程可得
,
由即②由①得同理得,
得:
,所以直线
,解得过定点,,
面积的最小值.
,∴,
面积的表达式,换元后利用二次函数的单
,解得,
的方程为可得,,
,
或;
.
(舍去),
则四边形面积
.
令故当
时,
,则.当且仅当
是关于的增函数,
时取到最小值88.