内容发布更新时间 : 2024/11/15 4:33:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
2019-2020年高二数学互斥事件有一个发生的概率(第一课时) 人教版
一 教学目标：1. 理解互斥事件的概念，掌握互斥事件中有一个发生的概率的计算公式． 2．通过互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义，提高分析问题和解决问题的能力．
二 教学重点:互斥事件的概率加法公式的理解及运用的前提条件 三 教学难点：用定义判断较复杂的事件是否互斥, 关键是正确运用集合与分类的思想方法判断较复杂的事件的互斥与对立。
四 教学方法：启发式 五 数学过程: I. 复习引入
1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，3个黄球，从中任取一个球．求：⑴得到红球的概率；⑵得到绿球的概率；⑶得到红球或者绿球的概率．
师问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题⑶中的事件“得到红球或者绿球”与问题⑴⑵中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？
Ⅱ. 讲授新课
1．互斥事件的定义
我们把“从中摸出1个球，得到红球”叫做事件A ，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B ，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C ．
如果从盒中摸出1个球是红球，即事件A 发生，那么事件B 就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件B 发生，那么事件A 就不发生．就是说，事件A 与B 不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．
一般地，如果事件A1,A2，…，An中的任何两个都是互斥的，那么就说A1,A2，…，An 彼此互斥．
从集合的角度看，n 个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交． 2．互斥事件有一个发生的概率
设A 、B 是两个互斥事件，那么A+B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 与B 中有一个发生就表示它发生．那么事件A+B 的概率是多少？
在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件A+B ．
由于从盘中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7+2 种，所以得到红球或绿球的概率一方面 P(A+B)=(7+2)/10
另一方面P(A)=7/10, P(B)= 2/10 由(7+2)/10= 2/10 ，我们看到P(A+B)=P(A)+P(B) 这就是说，如果事件A,B 互斥，那么事件A,B 发生（即A,B 中有一个发生）的概率，等于事件A,B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)．
一般地，如果事件A1,A2，…，An ，彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An 发生（即A1,A2，…，An 中有一个发生）的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2 +…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
3．例题分析
例1 一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件A ，“命中的环数大于5”为事件B ,“命中的环数小于4”为事件C ，“命中的环数小于6”为事件D ．那么A、B、C、D 中有多少对互斥事件？
（学生思考后再提问．答案：有四对，即A与C，A与D，B与C，B与D ） 例2 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示： 年降水量(单位:mm) [100,150) [150,200) [200,250) [250,300)
概率 0.12 0.25 0.16 0.14 ⑴求年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率；⑵求年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率．
解：记这个地区的年降水量在[100,150) 、[150,200) 、[200,250) 、[250,300) （mm）范围内分别为事件A、B、C、D ．这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有
⑴年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37 ⑵年降水理在[150，300)(mm)范围内的概率是P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)= 0.25+0.16+ 0.14
例3 一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4名．从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求代表队里男同学不超过2人的概率．
解：代表队里男同学不超过2人，即男同学可以有2人、1人、或没有．记代表队里有2名男同学为事件A ，有1名男同学为事件B ，没有男同学为事件C ，则A、B、C 彼此互斥．所以代表队里男同学不超过2人的概率P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= ______________________
Ⅲ. 课堂练习
1．把一枚硬币连续抛掷5次，求正面出现3次以上的概率．
2．从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率．
3．若A 、B 为互斥事件，P(A)=0.4，P(A+B)= 0.7 则P(B)=？ 【参考答案】
1．解：连续抛掷5次的结果数为________2×2×2×2×2 ，出现4次正面的结果数为____
，出现5次正面的结果数为______
，所以出现正面3次以上的概率为
P=P1+P2=______________
2．解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件A ，“排成的三位数的个位数字是2”为事件B ，且A 与B互斥，则“排成的三位数是偶数”为A+B ，于是P(A+B)=P(A)+P(B)= _________
点评：从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列的结果数是_______ ．
3．0．3 IV. 课时小结
不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求得它们的概率，然后计算．
V. 课后作业
1．课本P136习题11．2 3，4．
2．A 、B 、C 、D 、E 五人分4本不同的书，每人至多分1本．求： ⑴A 不要甲书，B 不要乙书的概率？
⑵甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率？ 3.苏大本节内容。 【参考答案】
2．（1）13/20 （2）1/2
课外阅读材料 瞎猫也能碰上死老鼠
在升学考试的时候，有时尽管自己觉得没把握，但被录取率却往往很高。这就是所谓的预先“防止落空”的一般对策。
但是也有采取以下战术的，就是考虑“被录取的可能性是50％，该从何处入手呢？
自古以来有这样的说法：“瞎猫也能碰上死老鼠”。这一格言听起来似乎是不负责任。当然这个格言就是他的战术基础。而且，这种格言符合一定的真理性。根据概率的计算可以明确地表示出来。
那么，请看一个具体的例子（漫画中聪明鼠的做法就与上面的格言吻合）吧。
考虑一下这样一个问题，即“有4所大学，各大学的录取概率为1／2时，全部的被录取概率是多少？”
这个问题的答案是，因为各大学的不录取概率是1／2（即1－1／2），所以这四所大学全部不录取概率为：（1／2）＝1／16
为了能被任一所大学录取，那么就应该去除在全部大学中不录取的概率，剩下的就是被录取的概率。即：
1－1／16＝15／16＝0．94 尚且，在这个计算中使用了“某件事不发生的概率就是用1减去某事件发生的概率”，把这样的事件看作是“余事件”。这在前面已经说明了。
由以上入学考试合格率的计算方法来看，可以说：概率几乎接近100％。为此必须高度重视。
虽说“瞎猫被录取也能碰上死老鼠”，但是如果情况非常糟，是完全碰不上的。就像猫咪那样，如果概率是零，无论进行多少次重复考试都不会成功。
不过概率为零的情况几乎没有，“即使有很小一点可能性，也一定要努力到最后”。可以说“不去参与就没有成功”。
当必须向某公司的某科室挂电话时，一般来说，向电话机多的科（相应的员工也多）挂电话接通的概率高。
例如，两个人使用一台电话机的A科，与20个人使用5台电话机的B科进行比较。
假定电话机平均使用。如果一个人的通话时间占上班时间的1／6，A科电话机占线的时间概率就是1／6＋1／6＝1／3。而在B科因人机比例是A科的2倍，即每一部电话的使用量是A科的2倍，也就是上班时间的2／3都在使用着。于是全部占线的概率为 降到了A科的一半以下。 这种计算方法在很多情况下都很适用。
……即
概率的来历
时概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展而产生起来的，但刺激数学家思考概率论问题的却来自赌博者的请求．
1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题．
问题是这样的，一次梅累和赌友掷骰子，各押赌注32个金币．双方约定，梅累如果先掷出三次6点，或者赌友先掷三次4点，就并赢了对方．赌好进行了一段时间，梅累已经两次掷出6点，赌友已经一次掷出4点，这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了．请问：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？
赌友说，他要再碰上两次4点，或梅累要再碰上一次6点就算赢，所以他有权分得梅累的一半，即梅累分64个金币的 友掷出了4点，他还可以得到 所以他应该分得64个金币的
，自己分64个金币的
．梅累争辩说，不对，即使下一次赌
，即32个金币；再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，，赌友只能分得64个金币的
．两人到底谁说得对呢？
帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家．可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把他难住了．他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的
，赌友应得64金币的
．这
时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻；也参加了他们的讨论．讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作．
概率论现在已经成了数学的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用． 数学世家伯努利家族
伯努利家族，又译贝努利家族．17－18世纪瑞士巴塞尔的数学和自然科学家的大家族，祖孙三代，出过十多位数学家原籍比利时安特卫普，1583年遭受天主教迫害，迁往德国法兰克福，最后定居巴塞尔，主要成员的世系如下。
最重要的是雅各布第一·伯努利、约翰第一·伯努利和丹尼尔第一·伯努利。
雅各布第一·伯努利1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，1705年8月16日卒于同地．最初遵从父亲的意见学神学，当他读了R．笛卡尔、J．沃利斯的书后，颇受启发，兴趣转向数学。1676年到荷兰、英国等处，结识当地学者、从1687年起直到去世，任巴塞尔大学教授。他和弟弟约翰第一·伯努利是G．W．莱布尼茨的朋友，他们迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大．雅各布在《学艺》上发表一系列的论文，1694年他首次给出直角坐标和极坐标下的曲
率半径公式，这也是系统地使用极坐标的开始1690年他提出悬链线问题，后来又改变条件，解决了更复杂的悬链问题。1694年的论文讨论了双纽线的性质，伯努利双纽线因此得名。1695年他提出著名的伯努利方程。
雅各布对对数螺线深有研究，他发现对数螺线经过各种变换后，结果还是对数螺线。在惊叹这曲线的奇妙之余，遗言要将这曲线刻在墓碑上，并附以颂词：“纵使变化，依然故我”。雅各布的巨著《猜度术》（1713）的出版，是组合数学及概率论史的一件大事，书中给出的伯努利数有很多应用。还有伯努利定理，这是大数定理的最早形式。
约翰第一·伯努利1667年8月6日生于巴塞尔，1748年1月1日卒于同地．最初学医，同时研习数学。1691年到巴黎，曾为洛必达的私人教师。现今求不定式极限的洛必达法则，实出自约翰。1705年接替其巴雅各布任巴塞尔大学教授．1691年解出悬链线问题1696年，他向全欧洲数学家挑战，提出最速降曲线问题：“一质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计磨擦，问沿着什么曲线，时间最短？”问题的难度处于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线）来满足所给条件．洛必达、莱布尼茨、I．牛顿、雅各布第一·伯努利都给出这个问题的解答，后来引起变分法的产生。
尼古拉第二·伯努利，约翰第一·伯努利的儿子，13岁入巴塞尔大学，1715年取得法学硕士学位。1725年同其弟弟丹尼尔第一·伯努利一起应邀到彼得堡去．他到彼得堡后。曾提出一个概率论问题，后来以彼得堡问题著称，可惜次年就死在那里．
丹尼尔第一·伯努利，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日卒于巴塞尔丹。尼尔25岁就成为彼得堡科学院数学教授，他最早的论著是解决黎卡提方程（1724）。他在概率论、偏微分方程、物理等方面均有贡献。曾获法国科学院奖金10次之多．他的《流体动力学》1738年出版，这是作为流体动力学基础的“伯努利定理”的出处。1733年他回到巴塞尔，教授解剖学、植物学和自然哲学．
从随机现象说起
在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。
另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。