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《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院
ppan()n?an?1()n?1?qqanpn?an?1pn?1q??a1p?a0?0 q?a1pqn?1?a0qn?0 （2）
?a1pqn?1?a0qn，
由(2)?anpn?an?1pn?1q?所以q整除上式的右端，所以q|anpn，又(p,q)?1,q?1， 所以(q,pn)?1,?q|an； 又由（2）有anpn?an?1pn?1q??a1pqn?1??a0qn
因为p整除上式的右端，所以P|a0qn ，(p,q)?1,q?1，所以(qn,p)?1, ∴p|an 故（1）的有理根为
p，且p|a0,q|an。 q假设2为有理数，x?2,?x2?2?0，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是
?1,?2，这与2为其有理根矛盾。故2为无理数。
另证，设2为有理数2=
p,(p,q)?1,q?1，则qp22?2,?2q2?p2,?(p2,q2)?(2q2,p2)?q2?1
q但由(p,q)?1,q?1知(p2,q2)?1，矛盾，故2不是有理数。 §4 质数·算术基本定理 1．试造不超过100的质数表 解：用Eratosthenes筛选法 （1）算出100?10a
（2）10内的质数为：2，3，5，7
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（3）划掉2，3，5，7的倍数，剩下的是100内的素数 将不超过100的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2．求82798848及81057226635000的标准式．
解：因为8|848，所以8|A,A?82798848?8?10349856?23?B， 又8|856，所以8|B，B?8?1293732?23?C， 又4|32，所以4|C，C?4?323433?22?D
又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D，D?9?35937?32?E， 又9|（3+5+9+3+7），所以9|E，E?9?3993 又3993?3?1331?3?113 所以A?2835113；
同理有81057226635000?23?33?54?73?112?17?23?37。 3．证明推论3.3并推广到n个正整数的情形． 推论3.3 设a，b是任意两个正整数，且
?1?2a?p1?p2??n?pn，?i?0，i?1,2,,k， ,k，
?k?pk，
?2b?p1?1?p2??n?pn，?i?0，i?1,2,?1?2?p2?则(a,b)?p1?k?1?2?pk?p2?，[a,b]?p1 7 / 77
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其中?i?min(?i,?i)，?i?min(?i,?i)，i?1,2,证：
,k
?i?min(?i,?i)，?0??i??i,0??i??i
k)
∴ pi?i|pi?i,pi?i|pi? i(i?1,2∴
?pii?1k?i?pi，?pii?1i?1k?ik?i?ip?i. i?1k?1?2p2∴ p1?1?2p2∴ p1?k?1?2pk|(a,b)，又显然(a,b)|p1p2?k?1?2pk?(a,b)，同理可得p1p2?kpk
?kpk?[a,b]，?i?max{?i,?i}
推广
?12设a1?p1?11p2?22pk?1k,a2?p1?21p2pk?2k,?n2,an?p1?n1p2?nkpk
(其中pj为质数j?1,2,?i1?i2p1p2?ikpk?(a1,a2,,k,ai为任意n个正整数i?1,2,,n,?ij?0)， 则
,an),?ij?min{?ij},1?i?nj?1,2,,k ,k
?i1?i2p1p2?ikpk?[a1,a2,,an],?ij?max{?ij},j?1,2,1?i?n4．应用推论3.3证明§3的定理4（ii）
?1?2p2证：设a?p1?k?1pk，b?p1?1p2?kpk，
其中p1, p2, ?, pk是互不相同的素数，?i，?i（1 ? i ? k）都是非负整数，有
?1(a,b)?p1?1p2?kpk，?i?min{?i,?i}，1?i?k，?k[a,b]?p1p2由此知(a, b)[a, b] =
?1?1pk，?i?max{?i,?i}，1?i?k。min{?i,?i}?max{?i,?i}i
?pii?1k?i??i??pi?1k??pi?i??i=ab；从而有[a,b]?i?1kab． (a,b)５．若2n?1是质数（n>1），则n是2的方幂． 证：（反证法）设n?2kl(l为奇数）， 则2n?1?22?l?1?(22)l?1?(22?1)[22kkkk?(l?1)?22?(l?2)?k?1]
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∵ 1?22?1?(22)l?1?2n?1， ∴ 2n?1为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂． §5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 1．求30！的标准分解式．
解：30内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
kk?2?????2???3???4???5???2??2??2??2??2??15?4?3?1?0?23
?30??30??30??30??30?
?3?????2???3???4???3??3??3??3??5?????2???3???5??5??5??7?????2???7??7??13?????2???13??13??17?????2???17??17??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??30??10?3?1?0?14
?6?1?0?7
?30??30??4?0?4，?11?????2???11??11??30??30??2?0?2，?13?????2???13??13??2?0?2
?2?0?2
?1?0?1，?19??19??23??29?1
∴ 30!?223?314?55?74?112?132?17?19?23?29 2．设n是任一正整数，?是实数，证明：
??n???(i) ??????
n????n?? (ii) ?????????????????nn????证：(i)设[?]?m.则由性质II知m???m?1,
?1??n?1? 9 / 77
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所以 nm?n??nm?n, 所以nm?[n?]?nm?n，所以m?[n?]?m?1，又在ｍ与ｍ+１之间只有唯一整数ｍ，n所以[[n?]]?m?[?]． nkk?1?{?}?,k?0,1,2,nn,n?1,
(ii) [证法一]设
则k?n{?}?k?1,?[n?]?n[?]?k ①当i?k?n?1时,{?}?ik?1?ii??1,[??]?[?] ; nnnik?ii??1,[??]?[?]?1; nnn②当i?k?n时,2?{?}?1n?1?[?]?[??]??[??]nnn?1n?11n?1?kii??[??]??[??]??[??]
nni?n?kni?0i?0?(n?k)[?]?k([?]?1)?n[?]?ki??[??]?[n?]
ni?0[证法二] 令f(?)?n?1i[??]?[n?], ?ni?0n?1n?11i?1f(??)??[??]?[n??1]?f(?)
nni?0n?11i?1f(??)??[??]?[n??1]?f(?)
nni?0?f(?)是以
1为周期的函数。 n 10 / 77