内容发布更新时间 : 2024/9/20 9:11:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4.1柱面

1、已知柱面的准线为：

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0且（1）母线平行于x轴；（2）母线平行于直线x?y,z?c，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0中消去x，得到：(z?y?3)2?(y?3)2?(z?2)2?25

22即：y?z?yz?6y?5z?3?0 2此即为要求的柱面方程。

?x?y

（2）取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0且平行于直线?的直线方程为：

z?c?

?x?x0?t??y?y0?t?z?z0?而M0在准线上，所以

??x0?x?t??y0?y?t ?z?z?0?(x?t?1)2?(y?t?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2t?2?0上式中消去t后得到：x?y?3z?2xy?8x?8y?8z?26?0 此即为要求的柱面方程。

222?x?y2?z22、设柱面的准线为?，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

x?2z?1,0,?2? 解：由题意知：母线平行于矢量?任取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0的母线方程为：

?x?x0?t??y?y0?z?z?2t0???x0?x?t? ?y0?y?z?z?2t?01 / 24

而M0在准线上，所以：

?x?t?y2?(z?2t)2 ??x?t?2(z?2t)消去t，得到：4x2?25y2?z2?4xz?20x?10z?0 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x?y?z?0：它与已知直线的交点为

?0,0,0?,(?1,0,1),(1,?1,4)，这三点所定的在平面x?y?z?0上的圆的圆心为

333M0(?21113,?,)，圆的方程为： 1515152211213298??(x?)?(y?)?(z?)?15151575 ???x?y?z?0此即为欲求的圆柱面的准线。

1,1,1?的直线方程为： 又过准线上一点M1(x1,y1,z1)，且方向为??x?x1?t??y?y1?t?z?z?t1?将此式代入准线方程，并消去t得到：

??x1?x?t??y1?y?t ?z?z?t?15(x2?y2?z2?xy?yz?zx)?2x?11y?13z?0

此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为?(u)??x(u),y(u),z(u)?，母线的方向平行于矢量S??X,Y,Z?，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

x?Y(u)?vS

与

?x?x(u)?Xv??y?y(u)?Yv ?z?z(u)?Zv?式中的u,v为参数。

证明：对柱面上任一点M(x,y,z)，过M的母线与准线交于点M?(x(u),y(u),z(u))，则，

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M?M?vS

即OM?OM??vS

亦即Y?Y(u)?vS，Y?Y(u)?vS 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即：

?x,y,z???x(u),y(u),z(u)??v?X,Y,Z?

?x?x(u)?Xv???y?y(u)?Yv ?z?z(u)?Zv?此即为柱面的坐标式参数方程。

§ 4.2锥面

1、求顶点在原点，准线为x2?2z?1?0,y?z?1?0的锥面方程。 解：设为锥面上任一点M(x,y,z)，过M与O的直线为：

XYZ?? xyz设其与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt，将它们代入准线方程，并消去参数t，得：

x2?2z(z?y)?(z?y)2?0

即：x?y?z?0 此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为(3,?1,?2)，准线为x?y?z?1,x?y?z?0，试求它的方程。 解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

222222X?3Y?1Z?2?? x?3y?1z?2令它与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使

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