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选修4-4 坐标系与参数方程

第1课时 坐 标 系 理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，能运用极坐标解决相关问题.

1. （选修44P11例5改编）在直角坐标系中，点P的坐标为（－的极坐标.

解：ρ＝

（－2）2＋（－4π

2，）.

3

6）2＝2

－2，tan θ＝

－

62＝

3，又点P在第三象限，2，－

6），求点P

① 了解极坐标系. ② 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程. ③ 会根据所给条件建立直线、圆的极坐标方程，并能运用极坐标解题. 4

得θ＝π，即P（2

3

?π?

2. （选修44P17习题9改编）在极坐标系中，已知A，B两点的极坐标分别为?3，?，

?3?

?π?

?4，?，求△AOB（其中O为极点）的面积. ?6?

?π??π?1

解：由题意A，B两点的极坐标分别为?3，?，?4，?，得△AOB的面积S△AOB＝

2?3??6?

1π

OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3.

26

?π?

3. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin?θ＋?＝1的距离.

?3?

解：圆的普通方程为（x－1）2＋y2＝1，直线的普通方程为∴ 圆心到直线的距离为d＝

3－1

. 2

3x＋y－1＝0，

4. （选修44P19例1改编）在极坐标系中，求过圆ρ＝－2sin θ的圆心，且与极轴平行的直线的极坐标方程.

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解：由题意，圆ρ＝－2sin θ，可化为ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋（y＋1）2＝1，圆心是（0，－1），所求直角坐标方程为y＝－1，所以其极坐标方程为ρsin θ＝－1.

5. 在极坐标系中，求圆ρ＝4上的点到直线ρ（cos θ＋值.

解：把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16， 把ρ（cos θ＋3sin θ）＝8化为直角坐标方程为x＋

3y－8＝0，

8

∴ 圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝4，

2∴ 直线和圆相切，

∴ 圆上的点到直线的最大距离是8.

1. 极坐标系是由距离（极径）与方向（极角）确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对（ρ，θ）与点不一一对应.这点应与直角坐标系区别开来.

2. 在极坐标系中，同一个点M的坐标形式不尽相同，M（ρ，θ）可表示为（ρ，θ＋2nπ）（n∈Z）.

3. 在极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M（ρ，θ）可表示为（－ρ，θ＋（2n＋1）π）（n∈Z）.

4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可取任意角.

5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M（ρ，θ），建立等式，化简即得.

6. 常见曲线的极坐标方程

（1） 过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）或θ＝π＋α（ρ∈R）； （2） 过点（a，0）（a＞0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a；

3sin θ）＝8的距离的最大

?π?

（3） 过点?a，?，与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a；

?2?

（4） 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r；

（5） 圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ；

?π?

（6） 圆心为?a，?，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.

?2?

7. 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，平面内任一点P的直角坐标（x，y）与极坐标（ρ，θ）可以互换，公式是

ρ＝x＋y，???x＝ρcos θ，?? 和? ytan θ＝.??y＝ρsin θ

?x?

2

2

2

, 1 求极坐标或极坐标方程)

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?π?

, 1) 在极坐标系中，已知点A?2，?，圆C的方程为ρ＝42sin θ（圆

?4?

心为点C），求直线AC的极坐标方程.

解：（解法1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy. 圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝4即x2＋（y－2点A的直角坐标为（2直线AC的斜率kAC＝2，2－0－22）. 2＝－1.

2， 2y， 2）.

2）2＝8，圆心C（0，2

所以直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2极坐标方程为ρ（cos θ＋sin θ）＝2

2，

?π?即ρsin?θ＋?＝2.

?4?

（解法2）在直线AC上任取一点M（ρ，θ），不妨设点M在线段AC上.

?π?

由于圆心为C?22，?，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM，

2??

?π?1?π?1π1

所以×22×2sin ＝×2×ρsin?θ－?＋×ρ×22sin?－θ?，即ρ（cos θ＋sin

242?4?2?2?

θ）＝2

2，

?π?化简，得直线AC的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝2.

?4?

备选变式（教师专享）

π

在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程.

4解：（解法1）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，且圆心C的坐标为（1，0），

π

直线θ＝的直角坐标方程为y＝x.

4

因为圆心C（1，0）关于y＝x的对称点为（0，1）， 所以圆C关于y＝x的对称曲线为x2＋（y－1）2＝1，

π

所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

4

π

（解法2）设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为（ρ′，θ′），其关于直线θ＝的对称点为（ρ，

4ρ′＝ρ，??θ），则? π

θ′＝2kπ＋－θ.?2?

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