内容发布更新时间 : 2024/11/10 9:42:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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第20练 三角函数的图象与性质
题型一 三角函数的图象
ππ
例1 (2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值
22分别是( ) π
A．2，－
3π
C．4，－
6
π
B．2，－
6π
D．4，
3
破题切入点 考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等． 答案 A
π35π
－?，T＝π，∴ω＝2， 解析 T＝－?412?3?5ππ
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
122π
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
3ππ－，?， 又φ∈??22?π
∴φ＝－，选A.
3
题型二 三角函数的简单性质 例2 (2013·山东)设函数f(x)＝
3
－3sin2ωx－sin ωx·cos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对2
π
称中心到最近的对称轴的距离为.
4(1)求ω的值；
3π
π，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间?2??
破题切入点 (1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一π
角一函数名”的形式，然后根据“y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”
4确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值；
(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图
1
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象即可确定所求函数的最值． 解 (1)f(x)＝3
－3sin2ωx－sin ωxcos ωx 2
1－cos 2ωx13
＝－3×－sin 2ωx 222＝
31
cos 2ωx－sin 2ωx 22
π
2ωx－?. ＝－sin?3??
2ππ
依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.
2ω4π
2x－?. (2)由(1)知f(x)＝－sin?3??3π5ππ8π
当π≤x≤时，≤2x－≤. 2333所以－
π3
2x－?≤1. ≤sin?3??2
3. 2
所以－1≤f(x)≤
3π3
π，?上的最大值和最小值分别为，－1. 故f(x)在区间?2??2题型三 三角函数图象的变换
π
例3 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω>0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距
4π
离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m＝
3________.
破题切入点 由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m的最小值． 答案
π 12
Tπ
解析 依题意，可得＝，
232π
又T＝，故ω＝3，
ωπ
所以f(x)＝sin(3x＋)．
4
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
2
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π
g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．
4
ππ
g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
42kππ
即m＝＋(k∈Z)，
312π
从而最小正实数m＝. 12
总结提高 (1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值．②周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，2π
利用周期计算公式T＝求解ω.③最值点定φ：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，
|ω|代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会产生增解．
(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x的系数化成正的．本部分题目注意要将ωx＋φ当作一个整体．
(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不φ
同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)最后确定平移的单位和方向．伸
ω缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分． ππ1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其
23图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) π
A．y＝4sin(4x＋)
6π
B．y＝2sin(2x＋)＋2
3π
C．y＝2sin(4x＋)＋2
3π
D．y＝2sin(4x＋)＋2
6
3