内容发布更新时间 : 2024/12/24 11:41:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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14 平面向量的基本定理
时间:45分钟 满分:80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题(每小题5分,共5×6=30分) →→→1.设a,b是不共线的两个非零向量,已知AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则p的值为( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 答案:D →→→→解析:BD=BC+CD=2a-b,AB=2a+pb,由A,B,D三点共线,知存在实数λ,使2a?2λ=2?+pb=2λa-λb.∵a,b不共线,∴?,∴p=-1. ?p=-λ?→→→2.在矩形ABCD中,O是对角线的交点,若BC=e1,DC=e2,则OC=( ) 11A.(e1+e2) B.(e1-e2) 2211C.(2e2-e1) D.(e2-e1) 22答案:A 1→→→1→→解析:因为O是矩形ABCD对角线的交点,BC=e1,DC=e2,所以OC=(BC+DC)=(e122+e2),故选A. 3.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是( ) A.60° B.120° C.30° D.150° 答案:A 解析:使平面向量a,b有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等,可得向量-a与-b的夹角也是60°. 4.如果a与b是一组基底,则下列不能作为基底的是( ) A.a+b与a-b B.a+2b与2a+b C.a+b与-a-b D.a与-b 答案:C 解析:由已知,a与b不共线,根据平行四边形法则,可知A,B,D选项中的两个向量都可以作为基底,而a+b与-a-b共线,不能作为基底. →→→→→5.如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,OP=xOA+yOB,且BP=3PA,则( ) 鼎尚出品
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2112A.x=,y= B.x=,y= 33331331C.x=,y= D.x=,y= 4444答案:D 3→→→→→→→3→1→解析:由已知BP=3PA,得OP-OB=3(OA-OP),整理,得OP=OA+OB,故x=,y=4441. 46.设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; ②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc; ③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:对于①,若向量a、b确定,因为a-b是确定的,故总存在向量c,满足c=a-b,即a=b+c故正确; 对于②,因为c和b不共线,由平面向量基本定理知,总存在唯一的一对实数λ、μ,满足a=λb+μc,故正确; 对于③,如果a=λb+μc,则以|a|、|λb|、|μc|为三边长可以构成一个三角形,如果b和正数μ确定,则一定存在单位向量c和实数λ满足a=λb+μc,故正确; 对于④,如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|,|λb|、|μc|为三边长可构成一个三角形”,这时单位向量b和c就不存在,故错误.故选C. 二、填空题(每小题5分,共5×3=15分) →→→7.设G是△ABC的重心(即三条中线的交点),AB=a,AC=b,试用a,b表示AG=________. 11答案:a+b. 33解析:延长AG交BC于D. 1→2→2→→2→1→2→1→→1→1→1∵AG=AD=(AB+BD)=(AB+BC)=AB+(AC-AB)=AB+AC=a+b. 3332333333?5k?28.已知e1,e2是两个不共线向量,a=ke1+?1-?e2与b=2e1+3e2共线,则实数k2??=________. 1答案:-2或 35k1-22k12 解析:由题设,知=,∴3k+5k-2=0,解得k=-2或. 233→→→9.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________. 4答案: 3鼎尚出品
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→→→→1→→→→1→→→→→解析:由题意,知AC=AB+AD,AE=AB+AD,AF=AB+AD.又AC=λAE+μAF,所以AC221λ+μ=1??211??→??→=?λ+μ?AB+?λ+μ?AD,故?2??2??1λ+??2μ=1 4,所以λ+μ=. 3三、解答题:(共35分,11+12+12) →→→→→10.如图,在?ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,试用a,b表示MN. →→→→→1→1→1→1→→解析:由AN=3NC,知N为AC的四等分点.MN=MC+CN=AD-AC=AD-(AB+AD)=24241→1→11-AB+AD=-a+b. 4444→→11.已知AP=λAB(λ∈R),O是平面内任意一点(O不在直线AB上). →→→(1)试以OA,OB为基底表示OP; 1(2)当λ=时,试确定点P的位置. 2→→→→→→→→→→→→解析:(1)∵AP=OP-OA,AB=OB-OA,由AP=λAB得(OP-OA)=λ(OB-OA), →→→∴OP=λOB+(1-λ)OA. 1→1→1→1→→(2)当λ=时,由(1)可知OP=OB+OA=(OA+OB),结合向量加法的几何意义可知,2222此时点P为线段AB的中点. 12.如图,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于E,求证:E为线段BD的三等分点. 1→→→→→→→→→1→解析:设AB=a,AD=b,则BD=AD-AB=b-a,AF=AD+DF=AD+AB=b+a. 22→→→→因为A、E、F与B、D、E分别共线,所以存在实数λ,μ∈R,使AE=λAF,BE=μBD. →λ→于是AE=a+λb,BE=μb-μa. 2λ→→→由AB+BE=AE得,(1-μ)a+μb=a+λb. 2因为a,b不共线,由平面向量基本定理,得1-μ=且μ=λ. 22→2→解得λ=μ=,∴BE=BD. 33即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点. λ鼎尚出品