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2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
?102x?x2dx=_____________.
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a= _____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为生A不发生的概率相等,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当
1,A发生B不发生的概率与B发9a?x?b时,有
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b)
(B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)(C)
??xdS?4??xdS
SS1
(B)(D)
??ydS?4??xdS
SS1
??zdS?4??xdS
SS1
??xyzdS?4??xyzdS
SS1(3)设级数
?un?1?n收敛,则必收敛的级数为
u(A)?(?1)n
nn?1n? (B)
?un?1?2n
(C)
?(un?1?2n?1?u2n)
(D)
?(un?1?n?un?1)
(4)设n维列向量组α1,分必要条件为
(A)向量组α1,(B)向量组β1,(C)向量组α1,,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,,βm线性无关的充
,αm可由向量组β1,,βm可由向量组α1,,αm与向量组β1,,βm线性表示 ,αm线性表示 ,βm等价
,βm)等价
(D)矩阵A?(α1,,αm)与矩阵B?(β1,(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件为
(A)E(X)?E(Y)
(B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2 (C)E(X2)?E(Y2)
(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
三、(本题满分6分)
求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x
四、(本题满分5分)
xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求.
yy?x?y
五、(本题满分6分)
计算曲线积分I?xdy?ydx?L4x2?y2,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶
f(x)?1,求f(x). 导数,且lim?x?0
七、(本题满分6分)
八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到
1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数f(x)在[0,?]上连续,且
??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至
0?少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.
十、(本题满分6分)
?10?01*?设矩阵A的伴随矩阵A??10??0?300?00??,?1?110?且ABA?BA?3E,其中E为4阶单
?08?位矩阵,求矩阵B.
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
1熟练工支援其6他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向5量??xn??. ?yn??xn?1??xn??xn?1??xn?(1)求??与??的关系式并写成矩阵形式:???A??.
yyy?n?1??n??n?1??yn?(2)验证η1???,η2???4??1???1??是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1?