内容发布更新时间 : 2024/5/23 20:30:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2.1不等式的基本性质

一、教学目标设计

理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。渗透分类讨论的数学思想。 二、教学重点及难点

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。 三、教学流程设计 通过例题巩 固不等式的基本性质 四、教学过程设计 一、 引入

公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。

在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。

二、探究不等式的基本性质

判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即 a?b的充分必要条件是a-b?0； a?b的充分必要条件是a-b?0； a?b的充分必要条件是a-b?0。

用心 爱心 专心

从实际出发，阐明研究不等式性质的重要性。 运用类比由等式性质探究不等式性质 引导学生证明不等式的基本性质 不等式的基本性质的应用：比较两个实数的大小；解不等式；介绍反证法。 归纳小结，布置作业 引出等式的性质： a=b，b=c?a=c； a=b?ac=bc； a=b，c=d?a+c=b+d。

1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论： 结论1 如果a?b，b?c，那么a?c。 结论2 如果a?b，c?d，那么a+c?b+d。 结论3 如果a?b，那么ac?bc。。

[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。利用举反例是证明命题错误的主要方法。继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。得出不等式的三个性质：

性质1 如果a?b，b?c，那么a?c。 性质2 如果a?b，那么a+c?b+c。

性质3 如果a?b，c?0，那么ac?bc；如果a?b，c?0，那么ac?bc。 性质4 如果a?b，c?d，那么a+c?b+d。

2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例。

（1）如果a?b，c?d，那么ac?bd。 （2）如果a?b?0，那么0?11?。 ab[说明]利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质（3）的使用前提；对于不正确的命题进行修正，得到不等式的另外两个性质

性质（5）如果a?b?0，c?d?0，那么ac?bd。 性质（6）如果a?b?0，那么0?11?。 ab3．探讨不等式在进行乘方，开方运算时具有的性质： 性质（7）如果a?b?0，那么a?b（n?N） 性质（8）如果a?b?0，那么na?nb（n?N，n?1）。

[说明]根据性质（5），由特殊到一般进行归纳得出性质（7）。介绍用反证法证明性质（8），

*nn*用心 爱心 专心

归纳用反证法进行证明的主要步骤。 三、例题分析

例1．判断下列命题的真假。

（1）若a?b，那么ac?bc。 （假命题） （2）若ac?bc，那么a?b。 （真命题） （3）若a?b，c?d，那么a-c?b-d。 （假命题）

（4）若

2222bd?，那么bc?ad。 （假命题） acnn（5）若a,b?R,a?b，那么a?b。 （真命题） （6）若a,b?R,a?b?1，那么1?a?1?b。 （真命题） 例2．（1）比较(a?1)2与a?a?1的值的大小。

（2）比较a?b与2(2a?b)?5的值的大小。 （3）比较x?3与3x的值的大小。 解：（1）由(a?1)2-（a?a?1）=3a，得

2222当a?0时，(a?1)?a?a?1；当a?0时，(a?1)=a?a?1； 22当a?0时，(a?1)?a?a?1。

2222222（2）由a?b-[2(2a?b)?5]=(a?2)?(b?1)，

22当a?2且b??1时，a?b=[2(2a?b)?5]； 22当a?2或b??1时，a?b?[2(2a?b)?5]。

222（3）由x?3-3x=(x?)?32233??0，得x2?3?3x。 44[说明]应用不等式的性质，采用“作差法”比较两数（式）的大小。“比较法”的主要步骤是作差——变形（化简，配方，因式分解）——判断——结论。 例3．解关于x的不等式m(x?2)?x?m。 解：移项整理得(m?1)x??m，

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