内容发布更新时间 : 2024/5/4 14:04:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一部分：平面向量的概念及线性运算

一.基础知识 自主学习

1．向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 长度为 的向量；其方向是任意的 长度等于 的 向量 方向 或 的非零向量 的非零向量又叫做共线向量 长度 且方向 的向量 长度 且方向 的向量 定义 法则(或几何 意义) 备注 平面向量是自由向量 记作0 a非零向量a的单位向量为± |a|0与任一向量 或共线 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 减法 a－b＝a＋(－b) 法则 (1)|λa|＝|λ||a|. λ(μa)＝λμa； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； (λ＋μ)a＝λa＋μa； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λλ(a＋b)＝λa＋λb. ＝0时，λa＝0. 数乘 求实数λ与向量a的积的运算

3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

二.难点正本 疑点清源

1．向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

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三．基础自测

→→→→

1．化简OP－QP＋MS－MQ的结果等于________．

2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．

→→→→→

3．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝________(用b、c表示)．

4．如图，向量a－b等于( ) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2

→→→

5．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是 ( ) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D

四．题型分类 深度剖析

题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题：

→→

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．

变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；

(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；

(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；

→→

(6)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等

题型二 平面向量的线性运算

→→→1→→1→→→→

例2 如图，以向量OA＝a，OB＝b为边作?OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a、b表示OM、ON、MN.

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→2→→→变式训练2 △ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a、b

3

→→→→→→

表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.

题型三 平面向量的共线问题

→→→

例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.

(1)求证：A、B、D三点共线；

→

(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．

变式训练3 设两个非零向量a与b不共线，

→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

五．思想与方法

5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题

→1→→1→→→

试题：如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b

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→

表示向量OM.

六．思想方法 感悟提高

方法与技巧

1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．

→→→→

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB∥CD且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB∥BC，则A、B、C三点共线． 失误与防范

1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

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