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第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系sin x式:sinx+cosx=1,=tan x. cos x22考情分析 20162全国卷Ⅲ,5 20162四川卷,11 20152陕西卷,6 命题趋势 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及2.能利用单位圆中的三角函数线π推导出±α,π±α的正弦、余弦、2正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:__sinα+cosα=1__. sin α
(2)商数关系:!!! tan α=
cos α2.三角函数的诱导公式
2
2
分值:4~5分 恒等变换,解决三角形内的相关问题. ?α≠kπ+π,k∈Z? ###. ??2??公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=__cos_α__, tan(α+2kπ)=tan α,其中k∈Z.
公式二:sin(π+α)=__-sin_α__,cos(π+α)=__-cos_α__, tan(π+α)=__tan_α__.
公式三:sin(-α)=__-sin_α__,cos(-α)=__cos_α__, tan(-α)=__-tan_α__.
公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=__-cos_α__, tan(π-α)=-tan α. 3.必会结论
(1)特殊角的三角函数值
α sin α cos α 0 π 61 2π 4错误! π 3错误! 1 2π 21 π 3π 2-1 0 0 -1 1 错误! 错误! 0 0 1
tan α 0 错误! 1 错误! 不存在 0 不存在 (2)诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式
k2+α中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,
π
则正、余弦互变;若k是偶数,则函数的名称不变.“符号看象限”指的是k2+α中,
2π
将α看成锐角时k2+α所在的象限.
2
1.思维辨析(在括号内打“√”或“3”). 13
(1)120°角的正弦值是,余弦值是-.( 3 )
22(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角.( 3 ) (3)诱导公式中的角α可以是任意角.( 3 )
(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符号”与α关.( √ )
解析 (1)错误.sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°=1
cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-.
2sin απ
(2)错误.在tan α=中α≠kπ+,k∈Z.
cos α2
π
(3)错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角,而对于正切的诱导公式α≠
2+kπ,k∈Z.
(4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号,因而与α的大小无关.
1?π?2.若cos α=,a∈?-,0?,则tan α=( C )
3?2?A.-2
4
B.
2
4
3, 2
的大小无
π2
C.-22
2D.22
1221-=-, 93
解析 由已知得sin α=-1-cosα=-
2
sin α
所以tan α==-22.
cos α
sin α-cos α
3.若tan α=2,则的值为( C )
sin α+cos α1
A.-
31
C. 3解析
5
B.-
35D. 3
sin α-cos αtan α-12-11
===. sin α+cos αtan α+12+13
14.(20162四川卷)sin 750°=!!! ###.
21
解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=. 2
?17π?-sin?-17π?=!5.cos?-! ???!4?4???
2 ###. ?17π?-sin?-17π?=cos 17π+sin 17π=
解析 cos?-?4?4?44????
π?π?ππ22??cos?4π+?+sin?4π+?=cos +sin =+=2.
4?4?4422??
一 同角三角函数关系及其应用
同角三角函数关系在解题中的应用
(1)利用转化思想,对于sin α,cos α,tan α,由公式sinα+cosα=1,tan αsin α
=进行转化,可以“知一求二”. cos α
(2)利用方程思想,对于sin α±cos α,sin αcos α,由下面三个关系式(sin α±cos α)=1±2sin αcos α,(sin α+cos α)+(sin α-cos α)=2,可以“知一求二”.
(3)sin α,cos α的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,或含有sinα,cosα及sin αcos α的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sinα+cosα=1”代换后转化为“切”求解.
32
【例1】 (1)(20162全国卷Ⅲ)若tan α=,则cosα+2sin 2α=( A )
464
A. 25
2
22
2
2
2
2
2
2
48B. 25
3