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数学物理方法答案梁昆淼

【篇一：数学物理方法题集】

>梁昆淼 编（高等教育出版社） 主讲教师：张华永 参考教材：

1. 数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社，2007年4月. 2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月. 3. 复变函数论方法（第六版）， 拉夫连季耶夫 等 编，高等教育出版社， 2006年1月

4. 特殊函数论，王竹溪，郭敦仁 编， 北京大学出版社 第一章：复变函数

1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念

● 复数的定义：形如x?iy的数称为复数（complex number），记做z?x?iy，其中实数x和y分别称为复数z的实部(real part)和虚部(imaginary part)，记作

x?re(z)，y?im((z)。当x?0时，z?iy称为纯虚数；当y?0时，z?x为实

数；x?y?0时，z?0称为复数0，它既是实数又是纯虚数。

● 复数平面：在直角坐标平面xoy上，把复数z?x?iy用坐标为(x,y)的点来表示，这个直角坐标平面xoy叫做复数平面。 图1-1

如图1-1，复数平面上的x轴和y轴分别叫做实轴和虚轴。复数z?x?iy与复数平面上的点(x,y)一一对应。

● 复数的矢量表示：如图1-1，在复数平面上作矢量oz，矢量oz与复数z?x?iy一一对应，复数z?x?iy可用复数平面上的矢量oz来表示。复数z?x?iy的实部x和虚部y分别为矢量oz的直角坐标分量。 ● 复数在极坐标系中的表示：

如图1-1，在复数平面上建立极坐标系，取x轴的正半轴为极轴，坐标原点为极点，则可得复数z?x?iy的对应点(x,y)的极坐标，包括极径?和极角?。 复数的模：复数z?x?iy对应点(x,y)的极坐标的极径或矢量oz的长度?称为复数z的模，记做z???x2?y2。

复数的辐角：复数z?x?iy对应点(x,y)的极坐标的极角或矢量oz与x轴正方向的夹角?称为z的辐角，记做argz??。

一个复数z?x?iy的辐角argz??可以取无穷多个值，并且彼此相差2?的整数倍，通常把满足条件0?argz?2?的一个特定值称为辐角的主值，表示为argz，则z的任意辐角可表示为： ?? ? ? ? ?

??argz?argz?2k?

复数z?0的辐角没有明确意义。 (k?0,?1,?2,...)

复数z?x?iy的三角式： z?x?iy??(cos??isin?) 复数z?x?iy的指数式：

z?x?iy??(cos??isin?)?i? ??z??e i?

e?cos??isin?(欧拉公式)?

● 共轭复数：复数z?x?iy的共轭复数为z??x?iy，两个复数关于实轴对称 ● 复数z1?x1?iy1与z2?x2?iy2相等的充要条件： z1?x1?iy1?z2?x2?iy2?x1?x2,y1?y2 2. 复数的运算

● 复数z1?x1?iy1与z2?x2?iy2的和z1?z2：

z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 1）交换率：z1?z2?z2?z1 ● 复数z1?x1?iy1与z2?x2?iy2的差z1?z2： z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 11

(z?z?)，im(z)?(z?z?) 22i

复数和差的几何意义：如图1-2，1-3，遵循矢量加减的平行四边形法则 ??

可以验证：(z1?z2)??z1，re(z)??z2 图1-2 图1-3

从复数和差的几何意义可得： z1?z2?z1?z2，z1?z2?z1?z2 ● 复数z1?x1?iy1与z2?x2?iy2的积z1z2：

z?z1z2?(x1?iy1)(x2?iy2)?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?y1x2)

1）交换率：z1z2?z2z1 2）结合率：z1(z2z3)?(z1z2)z3 3）分配率：(z1?z2)z3?z1z3?z2z3

可以验证： ??

1. (z1z2)??z1z2 2. i?i??1

3. 复数z1?x1?iy1与z2?x2?iy2相乘，可先按普通的代数法则将z1?x1?iy1与

z2?x2?iy2相乘，再用?1来代替i?i，具体乘积如下：

z?z1z2?(x1?iy1)(x2?iy2)?x1x2?iy1x2?ix1y2?i?iy1y2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?y1x2)

4. 复数z?x?iy与它共轭z??x?iy的乘积：zz??x2?y2?0 5. 复数z1?x1?iy1??1(cos?1?isin?1)与

z2?x2?iy2??2(cos?2?isin?2)的积的三角与指数形式：

z1z2??1(cos?1?isin?1)?2(cos?2?isin?2)??1?2?cos(?1??2)?isin(?1??2)???1?2e

如图1.4为复数积的几何意义 i(?1??2) 图1-4

● 复数z1?x1?iy1与z2?x2?iy2的商可以验证： ?

z1z1z2x1?iy1x2?iy2x1x2?y1y2x2y1?x1y21. ????i?2222 z2z2z2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2 zxx?y1y2x2y1?x1y2z1 : 1?12 ?i2222

z2z2x2?y2x2?y2

2. 复数z1?x1?iy1??1(cos?1?isin?1)与

z2?x2?iy2??2(cos?2?isin?2)的商的三角和指数形式： z1?(cos?1?isin?1)?1

?cos(?1??2)?isin(?1??2)???1ei(?1??2) ?1? z2?2(cos?2?isin?2)?2?2 如图1.5为复数商的几何意义 图1-5

注：复数的差、商分别为复数和、积的逆运算，可由和、积的定义推出，即：z?z2?z1?z?z1?z2， zz2?z1?z?● 复数z的n次乘方： zn??z?z n个

k可得复数n次乘方的二项式定理： (z1?z2)??cn(z1)n?k(z2)k