内容发布更新时间 : 2024/9/23 22:38:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五章 分析力学

本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。

第一节 约束和广义坐标

一、 约束的概念和分类

加于力学体系的限制条件叫约束。 按不同的标准有不同的分类：

按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束； 按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；

按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。

本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。

二、广义坐标 1、自由度

描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。 设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K） 2、广义坐标

描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如：作圆周运动的质点

只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和

第二节 虚功原理

本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。

一、实位移与虚位移

质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。

如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中

一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移

不一致。 二、理想约束

设质点系受主动力 和约束力 的功叫虚功。

若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。 三、虚功原理

的作用，它们在任意虚位移中作

与虚位移

描述，自由度为2。

1、文字叙述和数学表示：

受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即

（1）

适用条件：惯性系、理想不可解约束。 2、 推论

设系统的广义坐标为q1，……，qa，……，qS，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：

定义：

称为相应于广义坐标qa的广义力，则虚

功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：

（2）

3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤

一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；

（2）选取广义坐标并将各质点坐标 表示成广义坐标qa的函数：

；

，

（3）求主动力的虚功并令其为零： 由此求出平衡条件。