内容发布更新时间 : 2024/12/24 11:13:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

线性代数公式大全——最新修订

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)n(n?1)2Aij?(?1)i?jMij

D； D；

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：

AOCB?ACOBn(n?1)2；

CABO?OABC?(?1)mnAB

?AB、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；

nk?1n7. 证明A?0的方法：

①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；

?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.

(A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTAT(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

?A1?若A?????A2???，则： ??As?As；

?1A2Ⅰ、A?A1A2?A1?1??1Ⅱ、A???????1???； ??As?1??O??；（主对角分块） B?1?B?1??；（副对角分块） O??A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1?O??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?②、?????OB??O?O?OA??③、???1??BO??A?A?1?AC?④、?????OB??O?1?1?1?A?1?AO?⑤、?????1?1?CB???BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??r?O对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????AB； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A?,?E)??(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x?A?1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

rr?EO??； O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

c??1?②、???????2???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；

ii???n??1?1??1??????1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：?1???；

??1?1??????1?1?1??11???1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k????kk??1?????1???(k?0)； ?1??k??k??1?1?????1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1???(k?0)；

??1?1?????5. 矩阵秩的基本性质：

①、0?r(Am?n)?min(m,n)；

②、r(AT)?r(A)； ③、若AB，则r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

?1ac??②、型如??01b?的矩阵：利用二项展开式；

?001???

二项展开式：(a?b)?Ca?Cab?注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；

n(n?1)(n?m?1)n!?123mm!(n?m)!mnn?mnn0nn1nn?11?Camnn?mb?m?Cn?11n?1nabmmn?m； ?Cb??Cnabnnnm?0nⅡ、Cnm?0nCn?Cn?1

nⅢ、组合的性质：C?CCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0rn?2nrr?1rCn?nCn?1；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

?n?①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1