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2007机械工程控制基础第四章习题答案

第4章 频率特性分析

4.1什么是系统的频率特性？

答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。

4.4若系统输入为不同频率?的正弦Asin?t，其稳态输出相应为Bsin(?t??)。求该系统的频率特性。

解：由系统频率特性的定义知：G(j?)?Bj?e A4.5已知系统的单位阶跃响应为xo(t)?1?1.8e?4t?0.8e?9t(t?0)，试求系统的幅频特性与相频特性。

解：由已知条件得：Xi(s)?得系统传函为：G(s)?111.80.8?，Xo(s)??

sss?4s?9Xo(s)36 ?Xi(s)(s?4)(s?9)36，其中

(4?j?)(9?j?)得系统频率特性：G(j?)?幅频特性为：A(?)?G(j?)?3616???81???arctan22

相频特性为：?(?)??arctan?4?9

4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。已知m=1kg，k为弹簧刚度，c为阻尼系数。若外力f(t)?2sin2tN，由实验得到系统稳态响应为xoss?sin(2t?解：由系统结构知系统的动力学方程为：

?2)。试确定k和c。

f(t)

m ?o(t)?cx?0(t)?kxo(t)?f(t) m?x当m=1时，得系统传函为：

xo(t)

G(s)?

1，得系统频率特性为：

s2?cs?k图（题4.6）

G(j?)?1。

k??2?jc?其中，幅频特性为G(j?)?1(k??2)2?c2?2，相频特性为?(?)??arctanc? 2k??由题意，当输入信号为f(t)?2sin2t时，??2，由其与稳态输出信号xoss?sin(2t?对应关系知：G(j?)?解得k?4，c?1。

4.8设系统的闭环传递函数为GB(s)?求该系统的稳态输出。

?2)?c?11，?(?)????arctan ?222222k??2(k??)?c?K(T2s?1)，当作用输入信号xi(t)?Rsin?t时，试

T1s?12K(1?jT2?)1??2T2j(arctanT2??arctanT1?)?K?e解：系统的频率特性为GB(j?)? 221?jT1?1??T1则系统的稳态输出为xoss?RK1??2T21??T1222sin(?t?arctanT1??arctanT2?)

10，当系统作用以下输入信号时，s?14.9设单位反馈控制系统的开环传递函数为GK(s)?试求系统的稳态输出。 (1) xi(t)?sin(t?300)

解：系统的闭环传递函数为：GB(s)?GK(s)10 ?1?GK(s)s?11??jarctan101011。此题中，??1，得频率特性为： GB(j?)???e211?j?121??01010??e?j5.2，由此得：

11?j122GB(j?)?xoss1(t)?

10

sin(t?300?5.20)?0.905sin(t?24.80)1224.11 已知系统传递函数方框图如图所示，现作用于系统输入信号xi(t)?sin2t，试求系统的稳态响应。系统传递函数如下： （3）G(s)?5,H(s)?1 s?1??jG(s)555?解：GB(s)?，得：GB(j?)??e6

1?G(s)H(s)s?66?j??2?36当??2时，xoss3(t)?52sin(2t?arctan)?0.79sin(2t?18.40)。

6404.12试绘制具有下列传递函数的各系统的nyquist图。 (6) G(s)?1；

(1?0.5s)(1?2s)解：G(j?)?11?e?jarctan0.5??arctan2?

(1?0.5j?)(1?2j?)0.25?2?11?4?22.5?1??2实频特性：u(?)?，虚频特性： v(?)??222222(1??)?6.25?(1??)?6.25? ω 0 u(?) v(?) A(?) 1 0 0 0 -0.4 0 1 0.4 0 ?(?) 0 o Im [G(j?)] ????Re ??n?1 ∝ ?900 ?1800

??0 ???n?j0.4

(8) G(s)?解：

7.5(0.2s?1)(s?1)

s(s2?16s?100)7.5(j0.2??1)(j??1)780?15?27.5(0.2?4?1.8?2?100)G(j?)???j2222j?(100???16j?)256??(100??)(16?2)2?(100???3)2?7.51?(0.2?)21??22?2(100??)?(16?)22e16?j(arctan0.2??arctan??900?arctan)100??2

显然，实频特性大于零，虚频特性小于零。 ω 0 ∝

Im [G(j?)]u(?) 0．078 0 v(?) A(?) ?(?) -∝ 0 ∝ 0 o 0.078???Re ?900 ?900 ???0

4.15试绘出具有下列传递函数的系统的波特图。 （6）G(s)?2.5(s?10)

s2(0.2s?1)25(0.1j??1)，显然，系统由一个比例环节、两个积分环2(j?)(0.2j??1)解：系统频率特性G(j?)?节、一个惯性环节(?T1?出其bode图如下：

11?5)和一个微分环节(?T1??10)组成，故可用叠加法作0.20.120lgG(j?) dB 20lg25 幅频特性 0.01 40 20 0 0.1 -20 -40 ?40dB/dec ?20dB/dec 1 5 10 100 ? ?20dB/dec ?60dB/dec ?40dB/dec ?(?) 900 00 0.01 相频特性 -900 -1800 也可直接作出其bode图，步骤如下：

① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式，即各典型环节传递函数的常数项为1。得：G(j?)?0.1 1 10 100 ? 25(1?0.1j?)。 2(j?)(1?0.2j?)②根据比例环节的K值，计算20lgK：20lgK?20lg25?34.95

③在半对数坐标系上，找到横坐标为?＝1、纵坐标为A(?)??1?20lgK的点，过该点作斜率为—20νdB／dec=40dB／dec的斜线，其中ν=2为积分环节的数目。

④计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列原则依次改变A(?)的斜率：若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dB／dec；若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dB／dec；若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dB

／dec。此题中，?T1?11?5，?T2??10。因A(?)在???T1?5处过惯性环节，0.20.1则斜率减去20dB／dec，成为-60dB／dec；A(?)在???T2?10处过微分环节，则斜率增加20dB／dec，成为-40dB／dec。

⑤如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。 ⑥对数相频特性曲线画法同前。

20lgG(j?) dB 20lg25 幅频特性 0.01 40 20 0 0.1 -20 -40 ?40dB/dec ?60dB/dec 5 1 10 100 ? ?40dB/dec ?(?) 900 00 0.01 相频特性 -900 -1800 20dB/dec 0.1 1 10 100 ? 650s2（8）G(s)?

(0.04s?1)(0.4s?1)解：系统频率特性：

20lgG(j?) dB 40dB/dec 20lg650 60 40 2.5 1 10 25 20 0 0.1 -20 ?650?2G(j?)?(j0.04??1)(j0.4??1)

显然，系统由一个比例环节、两个纯微分环节、两个惯性环节组成，故可用叠加法作出其bode图。

? 100 0.01 幅频特性 -40 ?T1??T21?2.5s?10.41??25s?1 0.04

180 900 00 0.1 0.01 相频特性 0-90 1 10 0?(?) ? 100 也可直接作bode图，步骤略。