2020年高考数学二轮复习70分解答题专项特训-专题2数列(含答案解析) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/6/17 14:01:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2020年高考数学二轮复习70分解答题专项特训-专题2数列

1.(2019·蚌埠质检)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1. (1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn.

(1)证明 数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1. 由bn=an+n,那么bn+1=an+1+n+1, ∴

bn+1an+1+n+12an+n-1+n+1

===2; bnan+nan+n

即公比q=2,b1=a1+1=2,

∴数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得bn=2n, ∴an+n=2n,

∴数列{an}的通项公式为an=2n-n, ∴数列{an}的前n项和为

Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n =(21+22+…+2n)-(1+2+3+…+n) =2

n+1

n2n-2--.

22

2.已知数列{an},a1=1,a2=3,且满足an+2-an=4(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn=(-1)n·an,求数列{bn}的前100项和T100.

n-1

解 (1)①当n为奇数时,an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a3-a1)+a1=×4+a1=2n-

21.

n-2

②当n为偶数时,an=(an-an-2)+(an-2-an-4)+…+(a4-a2)+a2=×4+a2=2n-1.

2综上,an=2n-1(n∈N*).

(2)∵bn=(-1)nan=(-1)n·(2n-1),

∴T100=b1+b2+…+b100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199) 100

=2+2+2+…+2=2×=100.

2

3.(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,

a3,a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{an}是递增数列,数列{bn}满足bn=2n,Tn是数列{anbn}的前n项和,求Tn,并求使Tn>1 000成立的n的最小值. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d. ∵S3=9,∴a2=3,∴a1+d=3,① ∵a1,a3,a7成等比数列,∴a23=a1a7, ∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),②

a?d=0,?d=1,由①,②得?或?

?a1=3?a1=2.?d=0,

当?时,an=3, ?a1=3?d=1,当?时,an=n+1. ?a1=2

(2)∵数列{an}是递增数列,∴d≠0,∴an=n+1, ∴bn=2n1,从而anbn=(n+1)·2n1,

Tn=2·22+3·23+4·24 +…+(n+1)·2n1,①

∴2Tn=2·23+3·24+4·25 +…+(n+1)·2n2,②

①-②得,

-Tn=8+23+24 +…+2n1-(n+1)·2n2

23?2n1-1?++

= 8+-(n+1)·2n2 =-n·2n2,

2-1

∴Tn=n·2n2.

易知数列{Tn}是递增数列,又T5=640,T6=1 536, ∴使Tn>1 000成立的n的最小值为6.

Sn

4.设数列{an}的前n项和为Sn,若an-=1(n∈N*).

2(1)求出数列{an}的通项公式;

2?2n

(2)已知bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和记为Tn,证明:Tn∈??3,1?. ?an-1??an+1-1?Sn

(1)解 在an-=1中,令n=1可得a1=2,

2Sn+1Sn

因为an-=1,所以an+1-=1,

22

Sn+1-Snan+1

两式相减可得(an+1-an)-=0?an+1=2an,即=2.

2an所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列, 所以an=2n.

2n11

(2)证明 bn=n=-, ++nn

?2-1??2n1-1?2-121-1

1??11?1?1?1?1

所以Tn=21-1-22-1+22-1-23-1+…+2n-1-2n+1-1=1-n+1,

2-1??????所以{Tn}是一个单调递增的数列, 当n=1时,(Tn)min=T1=1-当n→+∞时,Tn→1, 2?

所以Tn∈??3,1?.

5.数列{an}中,a1=2,(n+1)(an+1-an)=2(an+n+1). (1)求a2,a3的值;

?1?

(2)已知数列{an}的通项公式是an=n+1,an=n2+1,an=n2+n中的一个,设数列?a?的前n

?n?

=, 22-13

12

Tn

项和为Sn,{an+1-an}的前n项和为Tn,若>360,求n的取值范围.

Sn解 (1)∵(n+1)(an+1-an)=2(an+n+1), n+3

∴an+1=a+2,

n+1n1+3∴a2=a+2=6,

1+112+3a3=a+2=12.

2+12

(2)由数列{an}的通项公式是an=n+1,an=n2+1,an=n2+n中的一个,和a2=6得数列{an}的通项公式是an=n2+n=n(n+1). 1111

由an=n(n+1)可得==-,

ann?n+1?nn+1

111111111

1-?+?-?+…+?n-n+1?=1-∴++…+=?,

a1a2an?2??23?n+1??1n∴Sn=1-=,

n+1n+1

∵(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=an+1-a1, an=n(n+1),