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2020年高考数学二轮复习70分解答题专项特训-专题2数列

1.(2019·蚌埠质检)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. (1)设bn＝an＋n，证明：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.

(1)证明 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. 由bn＝an＋n，那么bn＋1＝an＋1＋n＋1， ∴

bn＋1an＋1＋n＋12an＋n－1＋n＋1

＝＝＝2； bnan＋nan＋n

即公比q＝2，b1＝a1＋1＝2，

∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得bn＝2n， ∴an＋n＝2n，

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－n， ∴数列{an}的前n项和为

Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n ＝(21＋22＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝2

n＋1

n2n－2－－.

22

2.已知数列{an}，a1＝1，a2＝3，且满足an＋2－an＝4(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前100项和T100.

n－1

解 (1)①当n为奇数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1＝×4＋a1＝2n－

21.

n－2

②当n为偶数时，an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2＝×4＋a2＝2n－1.

2综上，an＝2n－1(n∈N*).

(2)∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·(2n－1)，

∴T100＝b1＋b2＋…＋b100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199) 100

＝2＋2＋2＋…＋2＝2×＝100.

2

3.(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a1，

a3，a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}是递增数列，数列{bn}满足bn＝2n，Tn是数列{anbn}的前n项和，求Tn，并求使Tn>1 000成立的n的最小值. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d. ∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1＋d＝3，① ∵a1，a3，a7成等比数列，∴a23＝a1a7， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，②

a?d＝0，?d＝1，由①，②得?或?

?a1＝3?a1＝2.?d＝0，

当?时，an＝3， ?a1＝3?d＝1，当?时，an＝n＋1. ?a1＝2

(2)∵数列{an}是递增数列，∴d≠0，∴an＝n＋1， ∴bn＝2n1，从而anbn＝(n＋1)·2n1，

＋

＋

Tn＝2·22＋3·23＋4·24 ＋…＋(n＋1)·2n1，①

＋

∴2Tn＝2·23＋3·24＋4·25 ＋…＋(n＋1)·2n2，②

＋

①－②得，

－Tn＝8＋23＋24 ＋…＋2n1－(n＋1)·2n2

＋

＋

23?2n1－1?＋＋

＝ 8＋－(n＋1)·2n2 ＝－n·2n2，

2－1

－

∴Tn＝n·2n2.

＋

易知数列{Tn}是递增数列，又T5＝640，T6＝1 536， ∴使Tn>1 000成立的n的最小值为6.

Sn

4.设数列{an}的前n项和为Sn，若an－＝1(n∈N*).

2(1)求出数列{an}的通项公式；

2?2n

(2)已知bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn∈??3，1?. ?an－1??an＋1－1?Sn

(1)解 在an－＝1中，令n＝1可得a1＝2，

2Sn＋1Sn

因为an－＝1，所以an＋1－＝1，

22

Sn＋1－Snan＋1

两式相减可得(an＋1－an)－＝0?an＋1＝2an，即＝2.

2an所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＝2n.

2n11

(2)证明 bn＝n＝－， ＋＋nn

?2－1??2n1－1?2－121－1

1??11?1?1?1?1

所以Tn＝21－1－22－1＋22－1－23－1＋…＋2n－1－2n＋1－1＝1－n＋1，

2－1??????所以{Tn}是一个单调递增的数列， 当n＝1时，(Tn)min＝T1＝1－当n→＋∞时，Tn→1， 2?

所以Tn∈??3，1?.

5.数列{an}中，a1＝2，(n＋1)(an＋1－an)＝2(an＋n＋1). (1)求a2，a3的值；

?1?

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝n＋1，an＝n2＋1，an＝n2＋n中的一个，设数列?a?的前n

?n?

＝， 22－13

12

Tn

项和为Sn，{an＋1－an}的前n项和为Tn，若>360，求n的取值范围.

Sn解 (1)∵(n＋1)(an＋1－an)＝2(an＋n＋1)， n＋3

∴an＋1＝a＋2，

n＋1n1＋3∴a2＝a＋2＝6，

1＋112＋3a3＝a＋2＝12.

2＋12

(2)由数列{an}的通项公式是an＝n＋1，an＝n2＋1，an＝n2＋n中的一个，和a2＝6得数列{an}的通项公式是an＝n2＋n＝n(n＋1). 1111

由an＝n(n＋1)可得＝＝－，

ann?n＋1?nn＋1

111111111

1－?＋?－?＋…＋?n－n＋1?＝1－∴＋＋…＋＝?，

a1a2an?2??23?n＋1??1n∴Sn＝1－＝，

n＋1n＋1

∵(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an)＝an＋1－a1， an＝n(n＋1)，