中考数学第二轮复习专题--最值问题 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 18:42:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

中考第二轮复习专题--线段和(差)的最值问题

一、两条线段和的最小值。

基本图形解析:

(一)、已知两个定点:

1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小; (1)点A、B在直线m两侧: A m

B(2)点A、B在直线同侧: A

B m

A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)两个点都在直线外侧:

A m

n

B(2)一个点在内侧,一个点在外侧: A

m

B n

(3)两个点都在内侧: m

A

B

n

AP mBABP mA'A mP'PQ'Q nBA mPBQ nB'A' mAPBQ nB'1

练习题:

1.如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是 . 2.如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是 .

3.如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是 .

第1题 第2题 第3题 第4题

4.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,

BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为_______.

5.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为

AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为 . 第5题

6.已知A(-2,3),B(3,1),P点在x轴上,若PA+PB长度最小,则最小值为 . 若PA—PB长度最大,则最大值为 .

(4)、台球两次碰壁模型

变式一:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB

n周长最短,则最短周长=_____________

A A'nB ADB

mE

m B'

变式二:已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

nn

A' AA Qm mP

A\

练习题:

1.如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,则△PQR周长的最小值为______.

2

2.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)

设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:是否存在这样的点M(m,0),N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?若存在,请求出m=______,n = ______(不必写解答过程);若不存在,请说明理由.

中考赏析:

1.著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB,图(2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A',连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.

(1)求S1、S2,并比较它们的大小; (2)请你说明S2=PA+PB的值为最小;

(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

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2.如图,抛物线y=x2-x+3和y轴的交点为A,M为OA的中点,若有一动点P,自M点处出发,

55沿直线运动到x轴上的某点(设为点E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F),最后

又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短路程的长.

3

(二)、一个动点,一个定点:

(一)动点在直线上运动:

点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B) 1、两点在直线两侧:

n nB

m AA

2、两点在直线同侧:

n n

B AA m mP A'(二)动点在圆上运动

点B在⊙O上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B) 1、点与圆在直线两侧:

OB'O B P' mP m

A A

2、点与圆在直线同侧:

OO

BAA

mP mPA' m(三)、已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

(1)点A、B在直线m两侧:

AACPQBmPQBm4