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五年级奥数：第5讲 数的整除性（一）

三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。 数的整除性质主要有：

（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。 灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。

例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。 例2 由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？

分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，

因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。 例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？

分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。 要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：

（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；

（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除； （3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。 容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。

对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。

对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。

综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。

例4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？ 分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求： ①各数位上的数字之和等于43； ②能被11整除。

因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。有两种情况： （1）五位数由一个7和四个9组成； （2）五位数由两个8和三个9组成。

上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。

例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ 分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。 假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。 练习5

1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？

2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？

班有多少名学生？

6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

答案与提示：

练习5

1.是。提示：7018和1392分别是4205与2813的和与差。 2.14。

提示：已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的因数。4875= 3×5×5×5×13，用这些因子凑成两个数，使它们的和是64，显然这两个数是3×13=39和5×5=25。它们的差是39-25=14。

3.19。提示：先后填入的三个数依次是7，8，4。 4.123654和321654。

提示：由题意知，b，d，f是偶数，e= 5，所以a，c只能是1和3。

6，进而知f=4，所求数为123654和321654。 5.55人。

提示：总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分90=9×10，所以总

（人）。

6.不能。

提示：假设能。因为前两个数的和能被3整除，第2、第3个数的和也能被3整除，所以第1、第3两个数除以3的余数相同。类似可知，排在第1，3，5，7，9位的数除以3的余数都相同。在1～9中，除以3的余数相同的数只有3个，不可能有5个。这个矛盾说明假设不成立。