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2019-2020年高考数学一轮复习 矩阵与变换教案 理 选修4-2

【2013年高考会这样考】

1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质．

2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】

1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算． 2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换．

3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组．

基础梳理

1．乘法规则

b11

(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵?b?的乘法规则：

?21?

b11

[a11 a12]??＝[a11×b11＋a12×b21]．

?b21?

a11a12?x0

(2)二阶矩阵? 与列向量??的乘法规则：

?a21a22??y0?

?a11 a12? ?x0?＝?a11×x0＋a12×y0?.

?a21a22??y0??a21×x0＋a22×y0?

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

?a11 a12? ?b11 b12?＝ ?a21a22??b21b22?

?a11×b11＋a12×b21 a11×b12＋a12×b22? ?a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22?

(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.

一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换

恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换． 3．逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)＝BA.

－1

－1－1

4．特征值与特征向量

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为

A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．

双基自测

1222

1．(2011·南通调研测试)曲线C1：x＋2y＝1在矩阵M＝?0 1?的作用下变换为曲线C2，求

??

C2的方程．

解 设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x＋2y＝1上与P对应的点，

??x＝x′＋2y′，12??x′??x???则

?01??y′?＝?y?，即??y＝y′

2

2

??x′＝x－2y，

??

?y′＝y.?

因为P′是曲线C1上的点， 所以C2的方程为(x－2y)＋2y＝1.

1

2．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是??，求矩阵A.

?1?

?a＝2，?abab12

解 设A＝?c d?，由?c d? ?0?＝?3?，得?

??????????c＝3.??a＋b＝3，ab??1??1??3??由c d1＝31＝3，得?

??????????c＋d＝3.

2

2

??b＝1，

所以?

??d＝0.

21

所以A＝? ?.

?30?

a022

3．(2011·苏州调研测试)已知圆C：x＋y＝1在矩阵形A＝?0 b?(a＞0，b＞0)对应的变换

??

作用下变为椭圆＋＝1，求a，b的值．

94

解 设P(x，y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P′(x′，y′)，

??x′＝ax，x′??a0??x??则＝ ，即?

?y′??0b??y???y′＝by.

x2y2

又因为点P′(x′，y′)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1.由已知条件可知，x＋y＝1，

9494所以a＝9，b＝4.

因为a＞0，b＞0，所以a＝3，b＝2.

2 1a4．(2011·南京市模拟)已知a＝?1?为矩阵A＝?－1 4?属于λ的一个特征向量，求实数a，

????λ的值及A.

1a22

解 由条件可知?－1 4? ?1?＝λ?1?，

??????

2

2

2

x2y2a2x2b2y2

22

??2＋a＝2λ，所以?

?－2＋4＝λ，?

解得a＝λ＝2.

12因此A＝?－1 4?.

??

12 122

所以A＝? ? ? ?＝

?－14??－14?

?－1 10?.?－514?

考向一 矩阵与变换

102

【例1】?求曲线2x－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝? ?，

?02? 10?N＝??－1 1?.

[审题视点] 先求积MN，再求变换公式． 10 10 10解 MN＝?0 2??－1 1?＝?－2 2?.

??????

设P(x′，y′)是曲线2x－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x，

2

y)，

x 10x′? x′?

则?y?＝?－2 2??y′?＝?， ???????－2x′＋2y′??

于是x′＝x，y′＝x＋，

2

代入2x′－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.

所以曲线2x－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.

22

y

【训练1】 四边形ABCD和四边形A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′的变换矩阵M. 10解 该变换为切变变换，设矩阵M为?k 1?，

??10－1－1

则?k 1?? 2?＝?0?.所以－k＋2＝0，解得k＝2. ??????