内容发布更新时间 : 2025/10/22 19:02:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第4节 双曲线
【选题明细表】
知识点、方法 双曲线的定义及标准方程 双曲线的几何性质 双曲线定义、标准方程及几何性质的综合应用 基础巩固(时间:30分钟)
1.双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于( D ) (A) (B) (C)2 (D)4
题号 2,4,6 1,3,5,9 7,8,10,11,12,13,14 解析:双曲线的方程可化为x2-=1, 所以实轴长为2,虚轴长为2所以2=2(2
,
),解得m=4.故选D.
2.已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为( D ) (A)4(B)
(C)5 (D)
解析:由双曲线方程得a2=3,b2=1,
所以c2=a2+b2=4,
所以c=2,所以右焦点F2(2,0), 因为xP=2且PQ过点F2, 所以PQ⊥x轴,如图, 由此得
?|PF1|+|PF2|=,
.故选D.
所以△PF1Q的周长为2(|PF1|+|PF2|)=
3.(2016·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( A ) (A) (B) (C) (D)2
解析:由题不妨设|MF1|==1,|MF2|=3, 则c=,a=1,得e==.故选A.
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( A ) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1
解析:圆心的坐标是(3,0),所以半焦距c=线方程是bx±ay=0,根据已知得解得b=2,则a2=32-22=5,
=3,圆的半径是2,双曲线的渐近
=2,即=2,
故所求的双曲线方程是-=1.故选A.
5.(2017·佳木斯市三模)椭圆C:+=1与双曲线E:-=1(a,b>0)有相同的焦点,且两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( D ) (A) (B) (C) (D)
解析:椭圆C:+=1的焦点坐标为(±1,0),离心率为. 双曲线E:-=1(a,b>0)的焦点为(±1,0),c=1, 双曲线的离心率为椭圆的倒数,所以为2. 由e=,即2=,得a=,
则b=,双曲线渐近线为y=±x, 设渐近线的倾斜角α,则tan α=±, 所以α=60°或120°, 所以sin α=.故选D.
6.已知双曲线-y2=1的左、右焦点为F1,F2,点P为左支上一点,且满足∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.
解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中由余弦定理得m2+n2-2mncos 60°=(2c)2,① 由双曲线定义得n-m=2a,② 联立①②化为所以mn=4,所以
=mnsin 60°=.