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第2讲 三角恒等变换与解三角形
年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2017 考查内容及考题位置 利用正、余弦定理求边或角·T17 利用余弦定理求边长·T6 三角恒等变换·T15 倍角公式·T4 三角形的面积公式·T9 正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17 余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17 余弦定理、三角形的面积公式·T17 正、余弦定理、两角和的正弦公式·T17 诱导公式、三角恒等变换、给值求值问2016 卷Ⅱ 题·T9 正弦定理的应用、诱导公式·T13 卷Ⅲ
三角恒等变换与求值(基础型)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β
(3)tan(α±β)＝. 1?tan αtan β 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα. 2tan α
(3)tan 2α＝. 2
1－tanα 三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sinθ＋cosθ＝tan 45°等．
2
2
2
2
2
2
命题分析 1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现． 2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上． 3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等. 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 正、余弦定理解三角形·T8
(2)项的分拆与角的配凑：如sinα＋2cosα＝(sinα＋cosα)＋cosα，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
[考法全练]
π??π??1．已知α∈?0，?，tan α＝2，则cos?α－?＝________．
2?4???
22222
?π?解析：因为α∈?0，?，tan α＝2， 2??
255
所以sin α＝，cos α＝，
55
π?ππ?所以cos?α－?＝cos αcos＋sin αsin 4?44?＝
2?255?310
×?. ＋?＝2?5105?
310答案：
10
11?π?则cos(α－β)＝________．
2．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈?0，?，
2?33?
?π?解析：因为α∈?0，?，所以2α∈(0，π)．
2??
172
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cosα－1＝－，
39422
所以sin 2α＝1－cos2α＝，
9
?π?又α，β∈?0，?，
2??
所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝ 1－cos（α＋β）＝所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
2
22
， 3
?7??1?42×22＝23. ＝?－?×?－?＋
327?9??3?9
23
答案： 27
3?π?3．已知sin β＝?<β<π?，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝________． 5?2?
3π
解析：因为sin β＝，且<β<π，
5243
所以cos β＝－，tan β＝－.
54
因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， 1
所以tan α＝－，
2
tan α＋tan β
所以tan(α＋β)＝＝－2.
1－tan αtan β答案：－2
正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型)
正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，
sin Asin Bsin Csin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2R 余弦定理及其变形
在△ABC中，a＝b＋c－2bccos A；
2
2
2
abcab2＋c2－a2
变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝. 2bc2
2
2
三角形面积公式
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
[典型例题]
命题角度一 求解三角形中的角
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos C＋bsin C＝a. (1)求角B的大小；
1
(2)若BC边上的高等于a，求cos A的值．
4【解】 (1)由bcos C＋bsin C＝a， 得sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin A. 因为A＋B＋C＝π，
所以sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin(B＋C)，
即sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 因为sin C≠0，所以sin B＝cos B.
121212
因为B∈(0，π)，所以B＝
π. 4
1
(2)设BC边上的高为AD，则AD＝a.
4
π13
因为B＝，所以BD＝AD＝a，所以CD＝a，
444所以AC＝AD＋DC＝
2
2
102
a，AB＝a. 44
AB2＋AC2－BC25
由余弦定理得cos A＝＝－.
2AB·AC5
利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式有：
(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．
(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况．
命题角度二 求解三角形中的边与面积
如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD＝1，
E为AC的中点，AE＝，cos B＝
(1)求AD的长； (2)求△ADE的面积．
3
2272π
，∠ADB＝. 73
27
【解】 (1)在△ABD中，因为cos B＝，B∈(0，π)，
7所以sin B＝1－cos B＝
2
21?27?2
1－??＝7，
?7?
21?1?27321×?－?＋×＝. 7214?2?7
1×
21
7
所以sin∠BAD＝sin(B＋∠ADB)＝
ADBDBD·sin B由正弦定理知＝，得AD＝＝
sin Bsin∠BADsin∠BAD21
14
＝2.
(2)由(1)知AD＝2，依题意得AC＝2AE＝3，在△ACD中，由余弦定理得AC＝AD＋DCπ2
－2AD·DCcos∠ADC，即9＝4＋DC－2×2×DCcos，
3
所以DC－2DC－5＝0，解得DC＝1＋6(负值舍去)，
2
222
1133＋32
所以S△ACD＝AD·DCsin∠ADC＝×2×(1＋6)×＝，
222213＋32
从而S△ADE＝S△ACD＝.
24
利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．
[对点训练]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，
BD＝5.
(1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝. sin∠Asin∠ADB由题设知，
522
＝，所以sin∠ADB＝.
sin 45°sin∠ADB5
223
1－＝. 2552. 5
BDAB由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×22×＝25. 所以BC＝5.
2．(2018·山西八校第一次联考)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋c)＝b＋3ac.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，且sin B＋sin(C－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积． 解：(1)由(a＋c)＝b＋3ac，整理得a＋c－b＝ac，
2
2
2
2
2
2
2
2 5
a2＋c2－b2ac1
由余弦定理得cos B＝＝＝，
2ac2ac2
π