内容发布更新时间 : 2024/12/28 10:54:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即B＝π－(A＋C)， 故sin B＝sin(A＋C)，
由已知sin B＋sin(C－A)＝2sin 2A可得sin(A＋C)＋sin(C－A)＝2sin 2A， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Ccos A－cos Csin A＝4sin Acos A， 整理得cos Asin C＝2sin Acos A. π
若cos A＝0，则A＝，
2223
由b＝2，可得c＝＝，
tan B3123
此时△ABC的面积S＝bc＝.
23若cos A≠0，则sin C＝2sin A， 由正弦定理可知，c＝2a，
23432222
代入a＋c－b＝ac，整理可得3a＝4，解得a＝，所以c＝，
33123
此时△ABC的面积S＝acsin B＝.
2323
综上所述，△ABC的面积为.
3
解三角形的综合问题(综合型)
[典型例题]
命题角度一 正、余弦定理与平面几何的综合
(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE中，已知
∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－3，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________．
【解析】 易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形
ABC中，AC＝
ABsin 15°
，在三角形AEC中，
CEACsin 45°＝?CE＝，
sin 30°sin 45°sin 30°
AC在直角三角形CED中，DE＝CEsin 60°，
23
×22sin 45°sin 60°AB3－3
所以DE＝CEsin 60°＝×＝×＝6.
sin 30°sin 15°16－2
24【答案】 6
利用正、余弦定理求解平面几何中的问题，应根据图形特征及已知条件，将所给量及待求量放在同一个三角形中，结合三角形内角和定理，外角和定理及正、余弦定理求解．
命题角度二 正、余弦定理与最值(范围)问题的综合
(1)(2018·潍坊模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆
tan A2c－b的半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为________．
tan Bb(2)(2018·西安模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a＋b－
2
2
c2)(acos B＋bcos A)＝abc，若a＋b＝2，则c的取值范围为________．
tan A2c－bbsin Asin B【解析】 (1)因为＝，所以＝(2c－b)，由正弦定理得sin Bsin
tan Bbcos Acos BAcos B＝(2sin C－sin B)sin Bcos A，又sin B≠0，所以sin Acos B＝(2sin C－sin B)cos A，所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，sin(A＋B)＝2sin Ccos A，即sin C＝2sin Ccos A，又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝
1
2
3
.设外接圆的半径为r，则r＝1，由余弦2
b2＋c2－a222222
定理得bc＝＝b＋c－a＝b＋c－(2rsin A)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(当且仅当b＝c2cos A1333
时，等号成立)，所以bc≤3，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤. 244
(2)由sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C及正弦定理，可知acos B＋bcos A＝c，则由(a＋b－c)(acos B＋bcos A)＝abc，得a＋b－c＝ab，由余弦定理可得cos C1π2π
＝，则C＝，B＝－A， 233
由正弦定理＝＝，得＝
sin Asin Bsin Csin A2
2
2
2
2
2
abca＝，又a＋b＝2，所以
2ππ??sin?－A?sin
3?3?
bccsin A3
2
csin?
＋
?2π－A?
?
?3?
32
＝2，即c＝
1?2π?＝，因为A∈?0，?，
3???2π??π?sin A＋sin?－A?sin?A＋?6??3??
3
π?π5π??π??1?所以A＋∈?，?，sin?A＋?∈?，1?，则c∈[1，2)．
6?6??2?6?6?
33
【答案】 (1) (2)[1，2)
4
解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所
求式的范围．
命题角度三 正、余弦定理与实际问题的综合
某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高
度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为( )
A．210(6＋2)米 C．2102米
B．1406米 D．20(6－2)米
2
【解析】 由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理得BC＝BA＋CA－2BA·CA·cos∠BAC，
即(x－40)＝x＋10 000－100x，解得x＝420米．
在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：＝，
sin∠CAHsin∠AHCsin∠CAH可得CH＝AC·＝1406(米)．
sin∠AHC【答案】 B
2
2
2
2
CHAC(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
[对点训练]
1．(2018·合肥第一次质量检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cos C＋ccos A＝0.
(1)求角C；
(2)若c＝23，求△ABC周长的最大值．
解：(1)根据正弦定理，由已知得(sin A－2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，
即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos C， 所以sin(A＋C)＝2sin Bcos C， 因为A＋C＝π－B，
所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B>0， 1
所以sin B＝2sin Bcos C，所以cos C＝. 2因为C∈(0，π)，所以C＝
π. 3
a2＋b2－c21
(2)由(1)及余弦定理得cos C＝＝，
2ab2
又c＝23，所以a＋b－12＝ab，
2
2
?a＋b?，
所以(a＋b)－12＝3ab≤3??
?2?
2
2
即(a＋b)≤48(当且仅当a＝b＝23时等号成立)． 所以a＋b≤43，a＋b＋c≤63. 所以△ABC周长的最大值为63.
2．(2018·武汉调研)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos
2
?π??π?2A－cos 2B＋2cos?－B?·cos?＋B?＝0. ?6??6?
(1)求角A的值；
(2)若b＝3且b≤a，求a的取值范围． 解：(1)由cos 2A－cos 2B＋2cos?
?π－B?cos?π＋B?＝0，得2sin2B－2sin2A＋
??6??6???
3π?3212?2?cosB－sinB?＝0，化简得sin A＝，又△ABC为锐角三角形，故A＝.
423?4?
ππππ13(2)因为b＝3≤a，所以c≥a，所以≤C<， 3263223 2aba3 由正弦定理＝，得＝，所以a＝， sin Asin Bsin Bsin B3 2 3??1 由sin B∈?，?得a∈[3，3)． ?22? [A组 夯基保分专练] 一、选择题 1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cosx－sinx＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 33352222 解析：选B.易知f(x)＝2cosx－sinx＋2＝3cosx＋1＝(2cosx－1)＋＋1＝cos 2x＋， 2222则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4. 1 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin 2 22 C，则sin B为( ) A. 7 47 3 3B. 41D. 3 C. 1 解析：选A.由bsin B－asin A＝asin C， 2且c＝2a， 得b＝2a， a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23 因为cos B＝＝＝， 2 2ac4a4 所以sin B＝ 7?3?1－??＝. 4?4? 2 3．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b， cc成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝( ) bsin BA.3 23 3 2 B. 23 3 C.D.3 2 2 2 解析：选B.由a，b，c成等比数列得b＝ac，则有a＝c＋b－bc，由余弦定理得cos Ab2＋c2－a2bc1π322 ＝＝＝，故A＝，对于b＝ac，由正弦定理得，sin B＝sin Asin C＝·sin 2bc2bc232csin Csin C23C，由正弦定理得，＝2＝＝.故选B. bsin Bsin B33 sin C2 4．(2018·昆明模拟)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，tan∠BAC＝－3，则BC边