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第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆
锥曲线教师用书 理 新人教版
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax＋bx＋c＝0(或ay＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k|x2－x1|＝1
1＋2|y2－y1|.
2
2
2
k【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两
条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与抛物线y＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．( × ) (2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x－y＝1一定相交．( × )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y＝1只有一条切线．( × )
4
(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x－y＝4只有一个公共点”的a的值有4个．( √ )
2
2
2
2
2
x2
2
1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程ax＋by＝1与ax＋by＝0(a>b>0)表示的曲线大致是( )
22
22
2
答案 D
解析 将方程ax＋by＝1变形为＋＝1，
11
22
22
x2y2
a2b211
∵a>b>0，∴2<2，
ab∴椭圆焦点在y轴上．
将方程ax＋by＝0变形为y＝－x， ∵a>b>0，∴－<0，
2
22
abab∴抛物线焦点在x轴负半轴上，开口向左．
2．(2017·青岛月考)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
94A．相交 C．相离 答案 A
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是( )
94
B．相切 D．不确定
x2y2
x2y2
?2?A.?0，? ?3??2?B.?－，0? ?3??22?C.?－，? ?33?
2??2??D.?－∞，－?∪?，＋∞? 3??3??答案 C
2
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
943
x2y2
?22?若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈?－，?.
?33?
4．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________. 答案 16
解析 直线l的方程为y＝3x＋1， 由?
2
?y＝3x＋1，?x2＝4y，
得y－14y＋1＝0.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝14，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y＝1相交于A，B两点，则
4|AB|的最小值为________． 答案 4
x2
2
3