内容发布更新时间 : 2024/5/18 9:38:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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【知识要点】

一、判断函数单调性的方法

判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法

用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设x1,x2?D，且x1?x2；②作差，求f(x1)?f(x2)；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断f(x1)?f(x2)的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.

2、复合函数分析法

设y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是单调函数，则y?f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：

增 增 减 减 3、导数判断法

设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f?(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有f?(x)?0(f?(x)?0)，则

增 减 增 减 增 减 减 增 f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数）.

4、图像法

一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法

证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明. 三、求函数的单调区间

求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.

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2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.

3、导数法:先求函数的定义域D，然后求导f?(x)，再解不等式f?(x)?(?)0 ,分别和D求交集，得函数的递增（减）区间 .

4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.

四、一些重要的有用的结论

1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数y?的单调性相减，如函数y?x.

2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数?增函数不一定是增函数，函数y?x和函数y?x都是增函数，但是它们的乘积函数y?x不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.

5、在多个单调区间之间不能用“或”和“

”连接，只能用逗号隔开.如函数y?f(x)的增区间为

34213、y?x和y?x；偶函数在其对称区间上x(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).

【方法讲评】

方法一 使用情景 定义法 一般适用于结构较简单的函数. ①取值，设x1,x2?D，且x1?x2；②作差，求f(x1)?f(x2)；③变形（合并同解题步骤 类项、通分、分解因式、配方等）；④判断f(x1)?f(x2)的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论. 【例1】证明函数f(x)?x?a(a?0)在区间(a,??)是增函数. x【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断f(x1)?f(x2)的符号时，没有利用到x1,x2?D，且x1?x2，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定f(x1)?f(x2)符

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号. 学.科.网

【反馈检测1】讨论函数f(x)?ax?11(a?)在(?2,??)上的单调性. x?22【例2】已知函数f(x)的定义域是x?0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2，都有

f(x1x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1时f(x)?0，f(2)?1.

（1）求证f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,??)上时增函数；（3）解不等式f(2x?1)?2. 【解析】(1)令x1?x2?1?f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?0

【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的 方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断f(x1)?f(x2)的符号时，难度要大一些，主要是充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对f(x1)的变形，要充分利用已知条件“f(x1x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1时f(x)?0”，所以可以这样拆，

2f(x1)?f(x2xx1)?f(x2)?f(1).（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答，即根据解题的需要，

x2x2给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.

【反馈检测2】已知f(x)是定义在区间[?1,1]上的奇函数，且f(1)?1，若m,n?[?1,1],m?n?0有

时，

f(m)?f(n)1?0.（1）解不等式f(x?)?f(1?x)（2）若f(x)?t2?2at?1对所有

m?n2x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立，求实数t的取值范围.

方法二 使用情景 解题步骤 导数法 一般使用于结构较复杂的函数. 先求函数的定义域，再求导f?(x)，再判断f?(x)的符号，最后下结论. 2【例3】已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1 （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围. （2）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（1）知在（0，+∞）单调减少，从而

?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2

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