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质点和质点系角动量定理及应用。 角动量守恒定律及应用 2. 难点

① 区别动量定理和角动量定理。

② 区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。 ③ 动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关。 1. 动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？ 质点动量

，角动量

，由于 v 和 r 都是相对量，与参考系的

选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。

动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。 2. 区别动量定理与角动量定理

动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积 -- 冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系所受的外力矩的矢量和的时间累积 -- 角冲量相对应。两者是不同的概念。例如：有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不断发生变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩始终为零。 3. 动量和角动量守恒的条件 质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系的动量将保持不变。质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，质点或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。在实际问题中要认真区别两个守恒定律成立的条件。许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为零时，系统所受外力不一定为零。即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。反之，系统所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动量不一定是守恒。（参看教材P.91【例2】）。

对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，因此，内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零，因此，内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的角动量。

例1 水分子的形状如图5-2所示。从光谱分析得知水分子对 AA′轴的转动惯量是

，对

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BB′轴的转动惯量是 。试由此数据和各原子的质量求出

氢和氧原子间的距离 d 和夹角 。假设各原子都可当质点处理。

解： 由图可得

此二式相加，可得

上二式相比，可得

例2 一质量 m = 2200kg 的汽车以

的速度

沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路 d = 50m 的一点的角动量是多

大？对公路上任一点的角动量又是多大？

解： 如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d = 50m的一点P1的角动量的大小为

汽车对公路上任一点 P2的角动量的大小为

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例3 两个质量均为m 的质点，用一根长为 2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质点绕固定轴 OZ以匀角速度 转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为 ，求质点组对O点的角动量大小及方向。

解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和 mv 组成的平面垂直）。 角动量的大小为

例4 如图5-5所示，转轴平行的两飞轮Ⅰ和Ⅱ，半径分别为R1、R2。对各自转轴的转动惯量分别为J1、J2。Ⅰ轮转动的角速度为

，Ⅱ轮不转动。

移动Ⅱ轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平行，由于摩擦，两轮的转速会变化。问转动稳定后，两轮的角速度各为多少？

辨析: 首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定理。

解： 轮Ⅰ、轮Ⅱ接触时，轮Ⅰ受到重力m1g，轴给轮的力T1，以及摩擦力f 1，轮Ⅱ施加的正压力N1；轴Ⅱ受到重力m2g，轴给轮的力T2，以及摩擦力f 2、轮Ⅰ施加的正压力N2，以及外加力F。f1和f2大小相等、方向相反，对轮Ⅰ和轮Ⅱ组成的系统来说，f1和f2是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总角动量。轮Ⅰ、轮Ⅱ系统受到的外力T1、T2、m1g和m2g，它们对O1轴或者O2轴的合外力矩皆不为零，这个系统对O1或者O2的角动量都不守恒。所以应对轮Ⅰ、轮Ⅱ分别运用角动量定理。 对Ⅰ轮，设顺时针转动为正向

（1）

对Ⅱ轮，设逆时针转动为正负

（2）

联立（1）、（2）两式可得

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（3）

转动稳定时，两轮缘的线速度相等，即

（4）

联立（3）、（4）解得

例5 唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作用随转盘移动。设唱片可以看成是半径为R的圆盘，唱片质量为m，唱片与转盘之间摩擦系数为μ，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩 Mf 和唱片由放上去到具有角速度

所需的时间t1。

解： 唱片之所以转动是因受到转盘施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是唱片的动力矩。

在唱片上选为半径为r，宽度为dr的圆环，如图5-6所示。它受的动力矩为

上式中， 是唱片的密度。

整块唱片受的摩擦力矩为

视唱片为刚体，据转动定律 分离变量有

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积分上式

例6 如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为

，求m1下落的加速度和

两段绳子中的张力各是多少？ 设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。 解：

对m1，由牛顿第二定律

对m2，由牛顿第二定律

对滑轮，用转动定律

又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑

联立解以上诸方程，可得

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